Questão 36703

ITA 1972

Matemática

(ITA 1972) Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h, sabe-se que a média harmônica entre o raio r e a altura h é 4 e que sua área total é 2 $pi$ . O raio r deve satisfazer

r³ - r + 2 = 0

r³ - 4r² + 5r - 2 = 0

r³ - r² - r + 1 = 0

r³ - 3r - 2 = 0

Nenhuma das alternativas anteriores.

Gabarito:

r³ - r + 2 = 0

Resolução:

Primeiramente nos foi dado que a média harmônica entre r e h é 4:

$frac{2}{frac{1}{r}+frac{1}{h}}=4Rightarrow frac{rh}{r+h}=2Rightarrow rh=2(r+h)quad ext{(I)}$

usando agora que a área total é 2π:

$2pi r^2+2pi h r=2piRightarrow h=frac{1-r^2}{r}$

substituindo esse resultado na equação (I):

$rcdotfrac{1-r^2}{r}=2left(r+frac{1-r^2}{r} ight)\ \ Rightarrow 1-r^2=2left(frac{r^2+1-r^2}{r} ight )\ \ Rightarrow 1-r^2=frac{2}{r}\ \ Rightarrow r^3-r+2=0$

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