Questão 7066

ITA 1973

Matemática

(ITA-73) A desigualdade $sqrt[x-3]{x} cdot sqrt{x} leq frac{1}{x}$ é valida para

qualquer x positivo

1 ≤ x < 3

0 < x ≤ 1 ou 2 ≤ x ≤ 3

0 < x ≤ 1 ou 2 ≤ x < 3

nenhuma das alternativas anteriores

Gabarito:

nenhuma das alternativas anteriores

Resolução:

$\\ ext{Primeiramente, veja que } x>0 ext{, pois está dentro de uma raiz quadrada e além disso também está no denominador. Resolvendo então, temos que:} \\ sqrt[x-3]{x}cdot sqrt{x}leqfrac{1}{x};;Rightarrow;;x^{frac{1}{x-3}}cdot x^{frac{1}{2}}leq x^{-1};;Rightarrow;;x^{frac{2+x-3}{2(x-3)}}leq x^{-1};;Rightarrow;;x^{frac{x-1}{2(x-3)}}leq x^{-1}\\ (i); ext{Se } 0<xleq1 ext{, vem que:} \\ frac{x-1}{2(x-3)}geq-1;;Rightarrow;;frac{x-1}{2(x-3)}+1geq 0;;Rightarrow;;frac{x-1+2(x-3)}{2(x-3)}geq 0;;Rightarrow;;frac{3x-7}{x-3}geq 0;;Rightarrow;;x>3 ext{ ou } xleqfrac{7}{3};;Rightarrow;;0<xleq1\\$

$\\ (ii); ext{Se } x>1 ext{, segue que:} \\ frac{x-1}{2(x-3)}leq-1;;Rightarrow;;frac{x-1}{2(x-3)}+1leq 0;;Rightarrow;;frac{x-1+2(x-3)}{2(x-3)}leq 0;;Rightarrow;;frac{3x-7}{x-3}geq 0;;Rightarrow;;frac{7}{3}leq x< 3\\ herefore;;oxed{S=left { xin mathbb{R}:;0<xleq1;;ou;; frac{7}{3}leq x< 3 ight }}$

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