Questão 20843

ITA 1975

Matemática

(ITA - 1975) Num triângulo escaleno ABC, os lados opostos aos ângulos , , medem respectivamente a, b , c. Então a expressão:

tem valor que satisfaz uma das seguintes alternativas:

nenhuma das respostas anteriores

Gabarito:

Resolução:

PRIMEIRA SOLUÇÃO:

OBS: Fórmulas de Prostaférese

$\ (1){sen}(x)+ ext{sen}(y)=2* ext{sen}(frac{x+y}{2}) ext{cos}(frac{x-y}{2}) \ \ (2) {sen}(x)- ext{sen}(y)=2* ext{sen}(frac{x-y}{2}) ext{cos}(frac{x+y}{2}) \ \ (3) {cos}(x)+ ext{cos}(y)=2* ext{cos}(frac{x+y}{2}) ext{cos}(frac{x-y}{2}) \ \(4) {cos}(x)- ext{cos}(y)=-2* ext{sen}(frac{x+y}{2}) ext{sen}(frac{x-y}{2})$

SEGUNDA SOLUÇÃO:

Pelo que aprendemos de adição e subtração de arcos:

$senleft(B-C ight )=senBcosC-senCcosB$

$senleft(C-A ight )=senCcosA-senAcosC$

$senleft(A-B ight )=senAcosB-senBcosA$

Logo, chamando a expressão de E, temos:

$E=acdot senleft(B-C ight )+bcdot senleft(C-A ight )+ccdot senleft(A-B ight )=left(acdot senBcosC-acdot senCcosB ight )+left(bcdot senCcosA-bcdot senAcosC ight )+left(ccdot senAcosB-ccdot senBcosA ight )Rightarrow E=cosAleft(bcdot senC-ccdot senB ight )+cosBleft(ccdot senA-acdot senC ight )+cosCleft(acdot senB-bcdot senA ight )$

Pela lei dos senos temos que:

$frac{a}{senA}=frac{b}{senB}=frac{c}{senC}$ , daí tiramos as seguintes relações:

$frac{a}{senA}=frac{b}{senB}Rightarrow acdot senB = bcdot senARightarrow acdot senB - bcdot senA=0$

$frac{a}{senA}=frac{c}{senC}Rightarrow acdot senC = ccdot senARightarrow acdot senC - ccdot senA=0$

$frac{b}{senB}=frac{c}{senC}Rightarrow bcdot senC = ccdot senBRightarrow bcdot senC - ccdot senB=0$

Repare que, da expressão grande obtida antes, E, temos:

$E=cosAleft(bcdot senC-ccdot senB ight )+cosBleft(ccdot senA-acdot senC ight )+cosCleft(acdot senB-bcdot senA ight )=cosAcdotleft(0 ight )+cosBcdotleft(0 ight )+cosCcdotleft(0 ight )Rightarrow E=0$

A alternativa correta é, portanto, a Letra C.

Questões relacionadas

Questão 6208

(ITA - 1975) Seja definida em . Se g for a função inversa de f, o valor de será:

Ver questão

Questão 6842

(ITA - 1975 - 1a fase) Se, na figura abaixo, c é uma circunferência de raio R, r e s são retas tangentes à circunferência e = 2R, então o ângulo&nb...

Ver questão

Questão 6862

(ITA - 75) Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência. Sabe-se que , e . Nesse caso, os valores de , , , , são respectivamente,

Ver questão

Questão 6924

(ITA - 75) Seja S = log3 (tg x1) + log3 (tg x2) + log3 (tg x3) + ... onde e Nessas condições, podemos assegurar que:

Ver questão