Questão 36815

ITA 1975

Matemática

(ITA 1975) Consideremos uma esfera de raio r = 1 cm e um ponto P fora dessa esfera. Sabemos que a distância desse ponto P à superfície da esfera mede 2 cm. Qual é a razão K entre a área da esfera e da calota visível do ponto P?

K = 1

K = 2

K = 3

K = 5/2

Nenhuma das alternativas anteriores.

Gabarito:

K = 3

Resolução:

Como a área de uma calota esférica é definida por $2pi r h_c$ , precisamos descobrir o valor de $h_c$ .

Podemos descobrir a medida "d", do ponto P ao ponto de tangência, usando pitágoras:

$d^2+1^2=3^2$

$d=2sqrt{2}$

Podemos agora, para descobrir $h_c$ , utilizar da semelhança entre o triângulo usado anteriormente com o triângulo formado por P, o ponto de tangência, e a circunferência menor:

$frac{2sqrt{2}}{3}=frac{2+h_c}{2sqrt{2}}$

$h_c=frac{2}{3}$

Portanto a área da calota é $2 pi1frac{2}{3}=frac{4pi}{3}$ , a área da superfície da esfera é $4pi$ ,

Logo $k=frac{4pi}{frac{4pi}{3}}=3$

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