Questão 60588

ITA 1975

Matemática

(ITA - 1975 - MODIFICADA)

Seja $fleft(x ight )=frac{x-x^{-1}}{x+x^{-1}}$ definida em subconjuntos do conjunto dos Reais de tal forma que possua inversa. Se $gleft(x ight )$ for a função inversa de $fleft(x ight )$ , então o valor de $gleft(frac{1}{4} ight )$ é:

$sqrt{5}$ .

$sqrt{frac{3}{5}}$ .

$sqrt{15}$ .

$sqrt{frac{5}{3}}$ .

Gabarito:

$sqrt{frac{5}{3}}$ .

Resolução:

Seja $fleft(x ight )=frac{x-x^{-1}}{x+x^{-1}}$ . Se $gleft(x ight )$ for a função inversa de $fleft(x ight )$ , então o valor de $gleft(frac{1}{4} ight )$ é:

Primeiramente vamos calcular a inversa de f(x):

$fleft(x ight )=frac{x-x^{-1}}{x+x^{-1}}=yRightarrow frac{x-frac{1}{x}}{x+frac{1}{x}}=yRightarrow y=frac{frac{x^{2}-1}{x}}{frac{x^{2}+1}{x}}=frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}Rightarrow$

$Rightarrow ycdotleft(x^{2}+1 ight )=x^{2}-1Rightarrow x^{2}cdotleft(y ight )+y=x^{2}-1Rightarrow x^{2}cdotleft(y-1 ight )=-1-yRightarrow$

$Rightarrow x^{2}=frac{-1-y}{y-1}Rightarrow x^{2}=frac{y+1}{1-y}Rightarrow x=sqrt{frac{y+1}{1-y}}$

$Rightarrow f^{-1}left(y ight )=sqrt{frac{y+1}{1-y}}$

Como $gleft(x ight )$ é essa inversa, então:

$gleft(x ight )=sqrt{frac{x+1}{1-x}}$

Assim, $gleft(frac{1}{4} ight )=sqrt{frac{frac{1}{4}+1}{1-frac{1}{4}}}=sqrt{frac{frac{5}{4}}{frac{3}{4}}}=sqrt{frac{5}{3}}$ .

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