Questão 7017

ITA 1975

Matemática

(ITA - 75) A respeito da equação exponencial 4^x + 6^x = 9^x podemos afirmar que:

é uma raíz.

$x=left [ log_{10}left ( frac{3}{2} ight ) ight ]^{-1}cdot log_{10}left ( frac{1+sqrt 5}{2} ight )$ é uma raíz.

$x=left [ log_{10}left ( frac{3}{2} ight ) ight ]^{-1}cdot log_{10}left ( frac{1+sqrt 3}{2} ight )$ é uma raíz.

$x=left [ log_{10}left ( frac{3}{2} ight ) ight ]^{-1}cdot log_{10}left ( frac{1+sqrt 6}{2} ight )$ é uma raíz.

nenhuma das alternativas anteriores.

Gabarito:

$x=left [ log_{10}left ( frac{3}{2} ight ) ight ]^{-1}cdot log_{10}left ( frac{1+sqrt 5}{2} ight )$ é uma raíz.

Resolução:

Dividindo a igualdade por $6^x$

$frac{4^x}{6^x} + frac{6^x}{6^x} = frac{9^x}{6^x} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left (frac{2}{3} ight )^x + 1 = left (frac{3}{2} ight )^x$

Fazendo $left (frac{3}{2} ight )^x = y$ e substituindo na equação acima, temos:

$frac{1}{y} + 1 = y Leftrightarrow y^2 - y - 1 = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:

$y = frac{1pmsqrt{5}}{2}$

Porém, y negativo não serve, logo temos que $y = frac{1+sqrt{5}}{2}$ .

Então, teremos:

$left (frac{3}{2} ight )^x = frac{1+sqrt{5}}{2} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow logleft (frac{3}{2} ight )^x = logleft (frac{1+sqrt{5}}{2} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow xcdotlogleft (frac{3}{2} ight ) = logleft (frac{1+sqrt{5}}{2} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x = frac{logleft (frac{1+sqrt{5}}{2} ight )}{logleft (frac{3}{2} ight )} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x = logleft (frac{1+sqrt{5}}{2} ight ) cdot logleft (frac{3}{2} ight )^{-1}$

Com isso temos que a alternativa correta é a letra B.

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