(ITA - 75) Se dividirmos um polinômio P(x) por x - 2, o resto é 13 e se dividirmos P(x) por (x + 2), o resto é 5. Supondo que R(x) é o resto da divisão de P(x) por x2 - 4, podemos afirmar que o valor de R(x), para x = 1 é:
zero.
7
9
11
nenhuma das anteriores.
Gabarito:
11
O resto da divisão de um polinômio qualquer P(x) por um polinômio de primeiro grau q(x) é igual ao valor de P(r) onde r é a raíz de q(x).
Sendo assim, temos o seguinte:
P(2) = 13 (pois 2 é raíz de x - 2)
e
P(-2) = 5 (pois -2 é raíz de x + 2)
Desse modo, dividindo P(x) por x² - 4, o resto deve ser da forma R(x) = ax + b, tal que:
P(x) = Q(x)*(x² - 4) + (ax + b) (I)
Substituindo x = 2 em (I), temos:
13 = 2a + b (II)
Substituindo x = -2 em (I), temos:
5 = -2a + b (III)
Resolvendo um sistema com (II) e (III), tem-se que R(x) = 2x + 9
Logo, R(1) = 2*1 + 9 = 11