Questão 73844

ITA 1978

Matemática

(ITA - 78) A soma de todos os valores de $x$ que satisfazem à identidade $9^{x-frac{1}{2}}-frac{4}{3^{1-x}}=-1$ é:

A

$0$

B

$1$

C

$2$

D

$3$

E

nda

Gabarito:

$1$

Resolução:

Partindo da expressão original e considerando que $x,epsilon , mathbb{R}$

$9^{x-frac{1}{2}}-frac{4}{3^{1-x}}=-1$

Aplicando a propriedade de potência de mesma base:

$9^{x}cdot9^{-frac{1}{2}}-frac{4}{3^{1}cdot3^{-x}}=-1$

Reescrevendo as bases das potências na base 3:

$left (3^2 ight )^{x}cdotleft ( 3^2 ight )^{-frac{1}{2}}-frac{4}{3cdot3^{-x}}=-1$

Adequando os expoentes:

$left (3^x ight )^{2}cdot 3^{-frac{2}{2}}-frac{4}{3cdotfrac{1}{3^x}}=-1$

$left (3^x ight )^{2}cdot frac{1}{3}-frac{4}{3cdotfrac{1}{3^x}}=-1$

Mudando a variável de modo que $3^x=t$ :

$t^2cdot frac{1}{3}-frac{4}{3cdotfrac{1}{t}}=-1$

$frac{t^2}{3}-frac{4}{frac{3}{t}}=-1$

$frac{t^2}{3}-frac{4t}{3}=-1$

$frac{t^2-4t}{3}=-1$

$t^2-4t=-3$

$t^2-4t+3=0$

Fatorando a equação:

$t^2-t-3t+3=0$

Colocando t e -3 em evidência:

$t(t-1)-3(t-1)=0$

Colocando (t-1) em evidência:

$(t-3)(t-1)=0$

$herefore t=1$ ou $t=3$

Retomando a variável original:

$3^x=1Rightarrow x=0$

ou

$3^x=3Rightarrow x=1$

Somando as raízes:

$1+0=1$

Portanto, a alternativa correta é a alternativa B)