Questão 8241

ITA 1982

Matemática

(ITA - 82) A figura hachurada abaixo é a seção transversal de um sólido de revolução em torno do eixo x. A parte tracejada é formada por um setor circular de raio igual a 1 e ângulo igual a 60°. O segmento de reta AB é paralelo ao eixo x. A área da superfície total do sólido mede:

$frac{5pi}{2}$

Gabarito:

$frac{5pi}{2}$

Resolução:

$\\ ext{O sólido é uma junção de um cone com uma parte de esfera. Assim, precisamos achar a área lateral de um cone (} A_1 ext{), a área da parte esférica (} A_2 ext{) e aárea gerada pela rotação de } AB ext{ em torno de x (} A_3 ext{) também. Logo:} \\ (i);; ext{Como o ângulo COB é de } 60^{circ} ext{, temos que o triângulo COB é equilátero cujo lado mede 1, pois } OC=OB= ext{ raio do setor circular. Assim, temos o valor da altura, do raio da base e da geratriz do cone:} \\ h=1cdot cos30^{circ}=frac{sqrt{3}}{2}\\ r_b=frac{1}{2}\\ g=R=1\\$

$\\ herefore;;A_1=pi r_bg=frac{pi}{2}\\ (ii);; ext{Veja que a área da superfície da calota esférica é dada por } A_2=2pi RH ext{, em que } H ext{ é a distância entre a reta } BC ext{ e a calota esférica. Assim:} \\ H=R-h;;Rightarrow;;H=1-frac{sqrt{3}}{2}\\ A_2=2pi RH=2picdot1cdot(1-frac{sqrt{3}}{2})=picdot(2-sqrt{3})\\ (iii);; ext{Area gerada pela rotação de } AB ext{:} \\ A_3=2pi r_bcdot(2h)=2picdotfrac{1}{2}cdotsqrt{3}=pisqrt{3}\\ herefore;;A_1+A_2+A_3=(frac{5}{2}-sqrt{3})pi+pisqrt{3}=frac{5pi}{2}$