Questão 6154

ITA 1987

Matemática

(ITA 1987) Considere a função y = f(x) definida por f(x) = x³ - 2x² + 5x, para cada x real.

Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira?

y = f(x) é uma função par

y = f(x) é uma função ímpar

f(x) ≥ 0 para todo real x

f(x) ≤ 0 para todo real x

f(x) tem o mesmo sinal de x, para todo real x ≠ 0

Gabarito:

f(x) tem o mesmo sinal de x, para todo real x ≠ 0

Resolução:

A função é $fleft(x ight )=x^3-2x^2+5x$ .

Para que uma função seja par, ela deve obedecer a seguinte relação: $f(-x) = f(x)$ , para todo x do domínio desta função.

E para que uma função seja ímpar, ela deve obedecer a seguinte relação: $f(-x) = -f(x)$ , para todo x do domínio desta função.

Logo:

$fleft(-x ight )=(-x)^3-2(-x)^2+5(-x)=-x^3-2x^2-5x eq x^3-2x^2+5x=f(x)$
e $fleft(-x ight )=-x^3-2x^2-5x eq -x^3+2x^2-5x=-fleft(x ight )$

Portanto, f não é função par e nem é função ímpar. Daí, as letras A e B estão incorretas (ou falsas)!

Vamos analisar a função $fleft(x ight )=x^3-2x^2+5x$ para $x = -1$ :
$fleft(-1 ight )=(-1)^3-2(-1)^2+5(-1)=-1-2-5=-8<0$ . Logo, $f(x)$ não é sempre maior que 0, para todo real x. A letra C está, portanto, falsa!

Da mesma maneira acima, para x = 1: $fleft(1 ight )=(1)^3-2(1)^2+5(1)=1-2+5=4>0$ . Logo, $f(x)$ não é menor que 0 para todo real x. A letra D está, portanto, falsa!

Vamos desenvolver um pouco mais a expressão de $f(x)$ :
$fleft(x ight )=x^3-2x^2+5x=x^2cdot x-2cdot xcdot x+5cdot x=left(x^2-2x+5 ight)cdot x$ . O que acabamos de fazer foi colocar o x em evidência.
Se $x < 0$ , então, é fácil ver que, $f(x)$ vai ser menor que 0.
Se $x > 0$ , então, $f(x)$ vai ser maior que 0, também.
Portanto, a letra E é verdadeira!

A alternativa correta é, portanto, a Letra E.

PS: Para ficar mais claro, segue uma imagem do gráfico da função:

Questão 6154

ITA 1987

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