Questão 36614

ITA 1990

Matemática

(ITA 1990) Considere um prisma triangular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triângulo ABC inscritível em um círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, o volume do prisma, em cm³, é

$frac{sqrt{2}}{3}x^3$

$frac{2sqrt{2}}{5}x^3$

$frac{3sqrt{3}}{10}x^3$

$frac{sqrt{3}}{10}x^3$

Nenhuma das alternativas anteriores.

Gabarito:

$frac{3sqrt{3}}{10}x^3$

Resolução:

A base do prisma é um triângulo equilátero de área $frac{x^2sqrt{3}}{4}$ .

O triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo, portanto o triângulo ABC também é retângulo e seu lado maior é diâmetro do círculo e mede 2x.

O lado menor l é $frac{l}{3}=frac{2x}{5}Leftrightarrow l=frac{6x}{5}$ , que é a altura do prisma.

O volume do prisma é

$V=frac{x^2sqrt{3}}{4} cdot frac{6x}{5}=frac{3sqrt{3}x^3}{10}$

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