Questão 34008

ITA 1995

Matemática

(ITA 1995) Seja $zinmathbb{C}$ tal que $Releft(z ight )>0$ e $left(z+i ight )^2+left| overline{z}+i ight|^2=6$ . Se n é o menor natural para o qual $z^n$ é um imaginário puro, então n é igual a:

Gabarito:

Resolução:

$left(z+i ight )^2+left| overline{z}+i ight|^2=6$

Lembrando que:

$|z|^2 = z cdot ar{z}$ , temos que:

$underbrace{(z^2+2iz-1)}_{(z+i)^2}+underbrace{(zcdot ar{z}+i(z-ar{z})+1)}_{|z+i|^2} = 6$

$z^2+3iz-iar{z}+zcdot ar{z} = 6$

Seja z = x + yi, segue...

$underbrace{(x^2-y^2+2xyi)}_{z^2}+3ix-3y-ix-y+x^2+y^2 = 6$

$(2x^2-4y)+i(2xy+2x) = 6$

O que nos leva a concluir que:

$left{egin{matrix} 2x^2-4y=6\ 2xy+2x = 0 end{matrix} ight.$

Da segunda equação, segue...

$Re(z) = x>0 Rightarrow 2y+2 = 0 Rightarrow y = -1$

Para y = -1, obtemos x= 1 ou x=-1, porém x deve ser maior que zero

$herefore z = 1-i$

Se n é o menor inteiro tal que $z^n$ é imaginário puro, então...

$z^2 = -2i$ , logo segue que n = 2

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