Questão 7107

ITA 1995

Matemática

(ITA - 1995) Sejam A e B matrizes reais 3 × 3. Se tr(A) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A, considere as afirmações:

(I) tr(A^t) = tr(A)

(II) Se A é inversível, então tr(A) ≠ 0.

(III) tr(A + λB) = tr(A) + λtr(B), para todo λ ∈ IR.

Temos que:

todas as afirmações são verdadeiras.

todas as afirmações são falsas.

apenas a afirmação (I) é verdadeira.

apenas a afirmação (II) é falsa.

apenas a afirmação (III) é falsa.

Gabarito:

apenas a afirmação (II) é falsa.

Resolução:

I- Ao fazer a matriz transposta de uma matriz quadrada a diagonal principal se manterá igual, sendo assim, o traço se manterá o mesmo. Verdadeiro.
II- Podemos provar por um contra exemplo:

$A=egin{bmatrix} 0 & 2 & 1\ 3 & 0 & 2\ 1& 3 & 0 end{bmatrix} ightarrow det(A)=0+4+6-0-0-0=10$

Determinante de A é diferente de 0, logo é inversível e seu traço é 0. Sendo assim, é falso.

III- Podemos definir o traço como:

$tr(A)=sum_{i=j} a_{ij}$

Sendo assim:

$tr(A+lambda B)=sum_{i=j} (a_{ij}+lambda b_ij)$

Aplicando a distributiva:

$tr(A+lambda B)=sum_{i=j} a_{ij}+sum_{i=j}lambda b_ij=sum_{i=j} a_{ij}+lambdasum_{i=j} b_ij$

O que define que é verdadeiro.

Letra D

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