Questão 2

ITA 2003

Física

(ITA - 2003 - 1a fase)

A partir do repouso, uma pedra é deixada cair da borda no alto de um edifício. A figura mostra a disposição das janelas, com as pertinentes alturas h e distâncias L que se repetem igualmente para as demais janelas, até o térreo. Se a pedra percorre a altura h da primeira janela em t segundos, quanto tempo levará para percorrer, em segundos, a mesma altura h da quarta janela? (Despreze a resistência do ar).

Gabarito:

Resolução:

$\ s(t) = s_o + v_ot+ frac{at^2}{2} \ s(t) = 0 + 0t + frac{gt^2}{2} \ s(t) = frac{gt^2}{2} \ t = sqrt{frac{2s}{g}}$

Para percorrer o primeiro espaço de comprimento L, o tempo gasto é

$t_1 = sqrt{frac{2L}{g}}$ .

Para percorrer o primeiro espaço de comprimento L e também o espaço h da primeira janela, o tempo gasto é

$t_2 = sqrt{frac{2(L+h)}{g}}$ .

Segundo o enunciado, o intervalo para percorrer apenas a primeira janela vale t.

Logo, $t = t_2 - t_1$ .

$t = sqrt{frac{2(L+h)}{g}}- sqrt{frac{2L}{g}} (I)$ .

O tempo que se gasta para chegar na quarta janela é

$t_3 = sqrt{frac{2(4L+3h)}{g}}$ .

E o tempo que se gasta para sair do ponto de lançamento e passar pela quarta janela é

$t_4 = sqrt{frac{2(4L+4h)}{g}}$ .

O enunciado pede o tempo para percorrer apenas o espaço da quarta janela, ou seja, o comando da questão é descobrir $T = t_4 - t_3$ em função de L, h e t.

$T = sqrt{frac{2(4L+4h)}{g}}-sqrt{frac{2(4L+3h)}{g}} (II)$

Vamos divir II por I:

$\ frac{T}{t} = frac{sqrt{frac{2(4L+4h)}{g}}-sqrt{frac{2(4L+3h)}{g}}}{sqrt{frac{2(L+h)}{g}}- sqrt{frac{2L}{g}}} = frac{sqrt{frac{2}{g}} cdot (sqrt{4L+4h}-sqrt{4L+3h})}{sqrt{frac{2}{g}} cdot (sqrt{L+h}-sqrt{L})}$

Ao simplificarmos a expressão acima e isolarmos T obtemos:

$T = frac{(sqrt{4L+4h}-sqrt{4L+3h})t}{(sqrt{L+h}-sqrt{L})}$

$T = frac{(sqrt{4(L+h)}-sqrt{3(L+h)+L})t}{(sqrt{L+h}-sqrt{L})}$

Alternativa C.

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