Questão 24
ITA 2003
(ITA - 2003 - 2 FASE) A figura mostra um recipiente, com êmbolo, contendo um volume inicial Vi de gás ideal, inicialmente sob uma pressão Pi igual à pressão atmosférica, Pat. Uma mola não deformada é fixada no êmbolo e num anteparo fixo. Em seguida, de algum modo é fornecida ao gás uma certa quantidade de calor Q. Sabendo que a energia interna do gás é U = (3/2)PV, a constante da mola é k e a área da seção transversal do recipiente é A, determine a variação do comprimento da mola em função dos parâmetros intervenientes. Despreze os atritos e considere o êmbolo sem massa, bem como sendo adiabáticas as paredes que confinam o gás.
Gabarito:
Resolução:
Vamos olhar a situação inicial, como o sistema está em equilíbrio a pressão inicial é igual à pressão atmosférica, pois inicialmente a mola não está deformada.
No final você vai ter a força elástica atuando mais a pressão atmosférica no nosso sistema, e qual é a pressão exercida pela força elástica?
Então se antes tínhamos apenas a pressão atmosférica e depois temos a pressão da força elástica mais a pressão atmosférica, a variação de pressão é calculada por:
E temos também a variação do volume como a área da base (A) vezes a variação da altura, e essa variação é exatamente o quanto que a mola deslocou, logo:
Agora vamos calcular a variação de energia interna:
Como não temos os valores finais, vamos manipular essas formulas para ficarmos com os termos da variação, dessa maneira:
Da onde veio isso? Basta lembrar que a variação (de pressão por exemplo) vai ficar assim:
Então as grandezas finais foram substituída pelas grandezas iniciais mais a variação delas (isso aconteceu para o volume e a pressão)
Lembrando que a pressão inicial é igual a pressão atmosférica temos:
Agora basta substituir a variação de volume e de pressão que calculamos anteriormente:
Agora vamos pensar no trabalho externo das forças, então temos o trabalho da força elástica mais o trabalho da pressão atmosférica:
Lembrando da primeira lei da termodinâmica temos:
Assim fica:
Agora encontramos uma equação de segundo grau e basta calcular, e como só queremos o valor positivo de x ( que faz sentido físico) temos o seguinte resultado: