Questão 26

ITA 2004

Matemática

(ITA - 2004 - 2 FASE ) Considere a equação $x^{3} + 3x^{2} -2x + d = 0$ , em que d é uma constante real. Para qual valor de $d$ a equação admite uma raiz dupla no intervalo $]0,1[$ ?

Gabarito:

Resolução:

Seja $S={ a,a,b }$ o conjunto solução da equação $x^{3} + 3x^{2} -2x + d = 0$ .

Vamos analisar as relações de Girard:

i) $a+a+b=-frac{3}{1}=-3$ → $2a+b=-3$

ii) $acdot a+acdot b+acdot b=frac{-2}{1}=-2$ → $a^2+2ab=-2$

Isolando o valor de $b$ na primeira equação:

$b=-3-2a$

Substituindo esse valor na segunda equação:

$a^2+2a(-3-2a)=-2$

$a^2-6a-4a^2+2=0$

$-3a^2-6a+2=0$

$3a^2+6a-2=0$

$Delta = 36+24=60$

$a=frac{-6pm2sqrt{15}}{6}$

$a=frac{-3pmsqrt{15}}{3}$

Como $a in ]0,1[$ , então $a=frac{sqrt{15}-3}{3}$ . Dessa forma:

$b=-3-2a$

$b=-3+frac{6-2sqrt{15}}{3}$

$b=frac{-3-2sqrt{15}}{3}$

Por fim, vamos analisar a última relação de Girard para esse polinômio:

$acdot acdot b=-frac{d}{1}=-d$

$left ( frac{sqrt{15}-3}{3} ight )^2 cdot left ( frac{-3-2sqrt{15}}{3} ight )=-d$

$left ( frac{24-6sqrt{15}}{9} ight ) cdot left ( frac{-3-2sqrt{15}}{3} ight )=-d$

$frac{-72-48sqrt{15}+18sqrt{15}+180}{27}=-d$

$frac{108-30sqrt{15}}{27}=-d$

$frac{36-10sqrt{15}}{9}=-d$

$d=frac{10sqrt{15}-36}{9}$

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