Questão 10
ITA 2004
(ITA - 2004 - 1a Fase) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n, n ≥ 2:
I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a11a22...ann.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por e a segunda por
, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
apenas II.
apenas III.
apenas I e II.
apenas II e III.
todas.
Gabarito:
apenas II e III.
Resolução:
I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
Falso. O determinante de uma matriz também será nulo se:
- uma das linhas (ou colunas) for proporcional à outra linha (ou coluna).
- uma das linhas (ou colunas) for uma combinação linear de outra linha (ou coluna).
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a11a22...ann.
Verdadeiro. A afirmativa está descrevendo uma matriz triangular superior (todos os elementos "acima" da diagonal principal são iguais a zero). Em uma matriz desse tipo, o determinante será o produto da diagonal principal.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por e a segunda por
, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A.
Verdadeiro. Ao multiplicarmos uma linha (ou coluna) por um número real, o determinante da matriz também será multiplicado por esse número, logo:
Det B = Det A *()*(
)
Det B = Det A*()
Det B = Det A*1