(ITA - 2004 - 1a Fase) Dada a equação x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9 = 0, em que m é uma constante real, considere as seguintes afirmações:
I. Se m ∈ ]- 6, 6[, então existe apenas uma raiz real.
II. Se m = - 6 ou m = + 6, então existe raiz com multiplicidade 2.
III. ∀m ∈ IR, todas as raízes são reais.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas
I.
II.
III.
II e III.
I e II.
Gabarito:
I e II.
Uma das raízes do polinômio é x = -1.
Assim podemos reduzir o seu grau facilmente encontrando o polinômio x² +mx +9.
Esse polinômio terá raízes [-m +-sqrt(m² -36)/2]
Assim se |m| <6 as raízes serão complexas e portanto -1 será a única raiz real do polinômio original.
Se |m| = 6 as raízes serão -m/2 com multiplicidade 2, além da raiz -1.
Assim apenas as afirmativas 1 e 2 estão corretas.