Questão 2

ITA 2008

Física

(ITA - 2008 - 1a Fase) A estrela anã vermelha Gliese 581 possui um planeta que, num período de 13 dias terrestres, realiza em torno da estrela uma órbita circular, cujo raio é igual a 1/14 da distância média entre o Sol e a Terra. Sabendo que a massa do planeta é aproximadamente igual à da Terra, pode-se dizer que a razão entre as massas da Gliese 581 e do nosso Sol é de aproximadamente

0,05

0,1

0,6

0,3

4,0

Gabarito:

0,3

Resolução:

Pela terceira lei de Kepler:

$frac{R^3}{T^2}= frac{M.G}{4 . pi ^2 }$

Sendo M a massa da estrela e G a constante gravitacional. Caso você só lembre que a lei de kepler é igual a uma constante e não lembrasse que valia M.G/4π² eis como você poderia achar esse valor, vamos pensar em uma orbita circular de um planeta em torno do sol, então a força gravitacional é igual à força centrípeta:

$F_{centriipeta} =F_G Rightarrow frac{ m.v^2}{R}= frac{G.M.m}{R^2}Rightarrow v^2=frac{G.M}{R} (I)$

Agora vamos lembrar que a velocidade em um movimento circular pode ser escrito como:

$v= w.R$

Sendo w a velocidade angular e a mesma vale:

$w= frac{2. pi}{T}$

Sendo T o período, logo:

$v= frac{2. pi .R}{T}$

Substituindo em I temos:

$\ ( frac{2 .pi .R}{T})^2=frac{G.M}{R} Rightarrow frac{4 .pi ^2 .R^2}{T^2}= frac{G.M}{R} \ \ frac{R^3}{T^2}= frac{G.M}{4.pi ^2}$

Agora vamos deixar do lado direito apenas as grandezas que são constantes nas duas situações, ou seja a massa da estrela a gente vai passar para o outro lado, ficando:

$frac{R^3}{M.T^2}= frac{G}{4.pi ^2}$

Agora para os dois sistemas o lado direito da equação é igual, então podemos igualar da seguinte maneira:

$frac{R_{Terra}^3}{M_{Sol}.T_{Terra}^2}= frac{R_{Planeta}^3}{M_{Gliese}.T_{Planeta}^2}$

EU coloquei como planeta o tal que orbita a anã vermelha e tem massa parecida com a da Terra, pelo enunciado substituindo o raio do planeta fica:

$frac{R_{Terra}^3}{M_{Sol}.T_{Terra}^2}= frac{(frac{R_{Terra}}{14})^3}{M_{Gliese}.T_{Planeta}^2}$

Agora para substituir o período envés de colocar o período da Terra como 365 e a do planeta como 13, vamos colocar um em função do outro, o mais fácil é colocar o período da Terra em função do período do planeta, dessa forma:

$frac{T_{Terra}}{T_{Planeta}} = frac {365}{13}Rightarrow T_{Terra}approx 28 T_{Planeta}$

Agora substituindo essa informação temos:

$\ frac{R_{Terra}^3}{M_{Sol}.(28 T_{Planeta})^2}= frac{(frac{R_{Terra}}{14})^3}{M_{Gliese}.T_{Planeta}^2} \ \ \ frac{M_{Gleise}}{M_{Terra}} =frac{28^2}{14^3}=028approx 0,3$

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