Questão 5

ITA 2011

Física

[ITA - 1º FASE - 2011]

Sobre uma mesa sem atrito, uma bola de massa M é presa por duas molas alinhadas, de constante de mola k e comprimento natural , fixadas nas extremidades da mesa. Então, a bola é deslocada a uma distância x na direção perpendicular à linha inicial das molas, como mostra a figura, sendo solta a seguir. Obtenha a aceleração da bola, usando a aproximação (1 + a)^α= 1 + αa.

a = – kx / M.

a = – kx² / 2M.

a = – kx² / M.

(D) a = – kx³ / 2M.

a = – kx³ / M.

Gabarito:

a = – kx³ / M.

Resolução:

Informações Importantes:

No primeiro desenho temos os valores de distância atribuídos, sendo L a distância da mola estendida e Lo a distância da mola em repouso.

No outro desenho temos o diagrama de forças sendo F1 e F2 as forças elásticas das respectivas molas e Fr a força resultante dessas suas forças.

Reparem que o angulo Θ é igual para os dois casos já que as força F2 está paralelas à distância L.

$\cos(Theta ) =frac{ CatetoAdj}{Hip}Rightarrow frac{x}{L} \ \ por pitagoras L=sqrt{x^{2}+Lo^{2}}$

No próximo passo vamos simplificar essa raiz para usar aproximação que o enunciado nos forneceu.

$L=sqrt{x^{2}+Lo^{2}} Rightarrow sqrt{Lo^{2}(frac{x^{2}}{Lo^{2}}+frac{Lo^{2}}{Lo^{2}})}$

esse passo consistiu em multiplicar tudo por Lo² e dividir por Lo², podemos fazer isso pois Lo²/Lo² =1 então não mudamos o resultado da expressão

$sqrt{Lo^{2}(frac{x^{2}}{Lo^{2}}+frac{Lo^{2}}{Lo^{2}})}Rightarrow sqrt{Lo^{2}(frac{x^{2}}{Lo^{2}}+1)}Rightarrow Locdot sqrt{(frac{x^{2}}{Lo^{2}}+1)}$

para usarmos a aproximação x²/Lo² tem que ser muito próximo de 0 ou seja <<1.

$Locdot sqrt{(frac{x^{2}}{Lo^{2}}+1)} = Locdot(frac{x^{2}}{Lo^{2}}+1)^{frac{1}{2}}Rightarrow Locdot(1+frac{x^{2}}{2Lo^{2}})=L (I)$

Então

$\cos(Theta ) = frac{x}{L} Rightarrow cos(Theta ) = frac{x}{Locdot(1+frac{x^{2}}{2Lo^{2}})} (II)$

A força resultante pode ser calculada fazendo a decomposição das forças no eixo y e somando elas (Por que não é considerada o eixo x?

Porque a componente x da F1 anula com a componente x da F2 por terem o mesmo módulo e sentidos opostos)

$\Fr=(F1)cos(Theta )+(F2)cos(Theta ) temos que os modulos de F1 e F2 sao iguais entao vamos chamar so de F \ Fr= 2cdot Fcos(Theta ) (III)\ pela formula de forca elastica temos que: F=-k.d sendo d o deslocamento da mola entao: \ d=L-LoRightarrow usando a equacao (I)$

$\d =Lo(1+frac{x^{2}}{2Lo^{2}})-LoRightarrow Lo(1+frac{x^{2}} {2Lo^{2}}-1)Rightarrow d=Lo(frac{x^{2}}{2Lo^{2}}) \ \ F =-kdRightarrow F=-kcdot Lo(frac{x^{2}}{2Lo^{2}})(IV)$

Então na equação (III) vamos juntar as equações(IV) e a (II)

$\Fr= -2cdot Fcos(Theta )Rightarrow Fr=-2cdot kcdot Lo(frac{x^{2}}{2Lo^{2}}) cdot frac{x}{Locdot(1+frac{x^{2}}{2Lo^{2}})}Rightarrow \ \ \Fr=-frac{kx^{3}}{Lo^{2}(1+frac{x^{2}}{2Lo^{2}})}$

Lembrando da segunda lei de Newton F=ma a última etapa do nosso exercício temos:

$\Fr=-frac{kx^{3}}{Lo^{2}(1+frac{x^{2}}{2Lo^{2}})}Rightarrow\ \ \ mcdot a=-frac{kx^{3}}{Lo^{2}(1+frac{x^{2}}{2Lo^{2}})}Rightarrow a=-frac{kx^{3}}{MLo^{2}(1+frac{x^{2}}{2Lo^{2}})}$

pela aproximação feita no começo x²/Lo² é muito próximo de 0 por isso conseguimos fazer a aproximação, com isso:

Resposta:

$a=-frac{kx^{3}}{MLo^{2}}$

Questão 5

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