Questão 6

ITA 2011

Física

[ITA - 1º FASE - 2011]

Um corpo de massa M, inicialmente em repouso, é erguido por uma corda de massa desprezível até uma altura H, onde fica novamente em repouso. Considere que a maior tração que a corda pode suportar tenha módulo igual a nMg, em que n > 1. Qual deve ser o menor tempo possível para ser feito o erguimento desse corpo?

Gabarito:

Resolução:

O corpo deve ter, durante um certo tempo, a máxima aceleração para cima, para que o tempo seja mínimo. No restante do tempo, a máxima aceleração dirigida para baixo, partindo e voltando ao repouso.

Quando a tração da corda tem intensidade F₁=n.M.g, é obtida a aceleração máxima dirigida para cima.

$F_{1}-P=M.a_{1} ightarrow n.M.g-M.g=M.a_{1}$

$a_{1}=g.(n-1)$

A aceleração máxima, dirigida para baixo, é obtida quando a tração da corda é nula e a aceleração tem módulo igual à gravidade.

Portanto, temos que dividir em duas áreas:

$Area: A_{1} e h_{1} \ \ Area: A_{2} e h_{2}$

Portanto, temos:

$h_{1} = frac{v_{f}.t_{1}}{2} e h_{2} = frac{v_{f}.t_{2}}{2}$ equação I

e temos que:

$tg (alpha) = g(n-1)= frac{v_{f}}{t_{1}}$

$tg (eta) = g = frac{v_{f}}{t_{2}}$

E temos que:

$t_{2} = t_{1}(n-1)$ equação 2

Substituindo 2 em 1:

$h_{2} = h_{1} (n-1)$

Sendo que:

$h_{1} + h_{2} = H$

$h_{1} = frac{H}{n} e h_{2} = H - h_{1} = frac{H}{n}(n-1)$

Portanto, os tempos podem ser calculados da seguinte forma:

$t_{1} = sqrt{frac{2frac{H}{n}}{g(n-1)}} e t_{2} = sqrt{frac{2frac{H(n-1)}{n}}{g}}$

Por fim , temos que o tempo total é:

$T = t_{1} + t_{2}$

$T = sqrt{frac{2H}{ng(n-1)}} + sqrt{frac{2H(n-1)}{ng}} = sqrt{frac{2H}{ng}} (sqrt{frac{1}{n-1}} + sqrt{n-1})$

$T = sqrt{frac{2nH}{(n-1)g}}$

Gabarito: B

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