Questão 10

ITA 2011

Física

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 10)

Obtenha uma expressão para as energias das órbitas do modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio usando a condição de que o comprimento da circunferência de uma órbita do elétron ao redor do próton seja igual um número inteiro de comprimentos de onda de Broglie do elétron.

Gabarito:

Resolução:

No modelo de Bohr as órbitas são circulares.

A força centrípeta é a força Coulombiana.

$\frac{mv_n^2}{R_n} = frac{ke^2}{R_n^2} \\\ v_n^2 = frac{ke^2}{mR_n} \\\ oxed{v_n = sqrt{ frac{ke^2}{mR_n} }}$

A energia total na órbita é a soma da energia cinética com a energia potencial elétrica.

$\ E_{total_n} = E_{k_n} + E_{p_n}$

$\E_{k_n} = frac{ke^2}{2R_n}$

$\E_{p_n} = frac{-ke^2}{R_n}$

$\E_{total_n} = frac{-ke^2}{2R_n}$

Essa é a energia total numa órbita n.

A órbita n tem comprimento igual a um múltiplo inteiro do comprimento de onda de Broglie:

$\ 2pi R_n = frac{nh}{mv_n}$

Por definição: $\ hbar = frac{h}{2pi}$

$\ R_n = frac{nhbar}{mv_n}$

Substituindo temos:

$\ R_n = frac{nhbar}{mesqrt{frac{k}{R_nm}}} Rightarrow \\\ R_n = frac{n^2hbar^2}{me^2k}$

$\ E_{total_n} = -frac{ke^2}{2(frac{n^2hbar^2}{me^2k})} \\\E_{total_n} = -frac{k^2me^4}{2n^2hbar^2}$

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