Questão 2

ITA 2011

Física

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 2)

Um objeto de massa m é projetado no ar a 45° do chão horizontal com uma velocidade v. No ápice de sua trajetória, este objeto é interceptado por um segundo objeto, de massa M e velocidade V , que havia sido projetado verticalmente do chão. Considerando que os dois objetos "se colam" e desprezando qualquer tipo de resistência aos movimentos, determine a distância d do ponto de queda dos objetos em relação ao ponto de lançamento do segundo objeto.

Gabarito:

Resolução:

Queremos descobrir a distância d. A distância d é obtida pelo produto entra a velocidade horizontal após a colisão e o tempo t.

$d = v_{x}^{D} cdot t$

Podemos montar uma equação do movimento para o tempo de queda dos corpos unidos após a colisão. Temos um lançamento de velocidade vertical inicial V, altura inicial H, e altura final igual a zero:

$H(t) = H + V_{A} t - frac{1}{2} gt^{2}$

Vamos encontrar o H, por Torricelli:

$0 = (vsen(45^{circ}))^{2} - 2gH$

$oxed {H = frac{v^{2}}{4g}}$

Pela conservação da quantidade de movimento em y:

$Delta vec{p_{y}} = 0$

Vale lembrar que não sabemos se a colisão entre o segundo corpo ocorreu durante a subida ou a descida, por isso, utilizaremos sinais arbitrários para determinar a velocidade vertical após a colisão:

$pm Mv = (m+M) cdot V_{A}$

$oxed {V_{A} = frac{pm Mv}{(m+M)}}$

$Delta vec{p_{x}} = 0$

$mv_{x} = (M+m)V_{x}^{D}$

$mfrac{vsqrt{2}}{2} = (M+m)V_{x}^{D}$

$oxed {v_{x}^{D}= frac{Mvsqrt{2}}{2(M+m)}}$

Vamos substituir o que encontramos na equação da altura:

$H + V_{A}t - frac{1}{2}gt^{2} = 0$

$frac{v^{2}}{4g} pm frac{Mv}{(m+M)}t - frac{1}{2}gt^{2} = 0$

Vamos resolver a equação do segundo grau:

$Delta = (frac{Mv}{(m+M)})^{2} - 4 cdot frac{-g}{2} cdot frac{v^{2}}{4g}$

$oxed {Delta = frac{M^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}} + frac{v^{2}}{2}}$

$t = frac{pm Mv}{(m+M)} + sqrt{frac{M^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}}+frac{v^{2}}{2}}$

OBS: foi considerada apenas a resposta que soma a raiz de delta, pois não existe tempo negativo.

$oxed {t = frac{1}{g} (pm frac{Mv}{(m+M)} + sqrt{frac{M^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}}+frac{v^{2}}{2}} )}$

Portanto:

$d = v_{x}^{D} t$

$oxed {d = frac{mvsqrt{2}}{2(m+M)g} cdot (pm frac{Mv}{(m+M)} + sqrt{frac{M^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}}+frac{v^{2}}{2}} )}$

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