Questão 16

ITA 2014

Matemática

(ITA - 2014 - 1 FASE) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48 cm², a razão entre as medidas da altura e da base é igual a . Das afirmações abaixo:

I. As medianas relativas aos lados e medem cm;

II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;

III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana , relativa ao lado , então

é (são) verdadeira(s)

apenas I.

apenas II.

apenas III.

apenas I e III.

apenas II e III.

Gabarito:

apenas I.

Resolução:

Com base nos dados fornecidos pelo enunciado, temos:

$3cdot AP = 2cdot BC$ e $frac{BC cdot AP}{2} = 48$

Fazendo as manipulações algébricas e a substituição, teremos:

$frac{BC cdot left ( frac{2cdot BC}{3} ight )}{2} = 48 Rightarrow 2cdot BC^2 = 48cdot2cdot 3 Rightarrow$

$Rightarrow BC = 12$ , portanto $AP = 8$ .

Com esses dados podemos construir a figura a seguir, onde E e F são os pontos médios de AB e AC, respectivamente, e G é o baricentro do triângulo ABC.

Com isso podemos calcular mais algumas medidas, sendo:

$PG = frac{1}{3}cdot 8 = frac{8}{3}$
$GA = frac{2}{3}cdot 8 = frac{16}{3}$
$BG = sqrt{BP^2+GP^2} = frac{2}{3}cdot sqrt{97}$
$BG = frac{2}{3}cdot BF Rightarrow BF = sqrt{97}$
$CE = BF = sqrt{97}$

Na construção da figura F = M, pois no enunciado de (iii) é pedido o ângulo formado por BM e BC, que é o mesmo que BF e BC.

Para calcular o $cos(alpha )$ , temos:

$cos(alpha ) = frac{BP}{BG} = frac{6}{frac{2}{3}cdotsqrt{97}} = frac{9}{sqrt{97}}$

Com isso temos que apenas a primeira afirmação é verdadeira e as demais são falsas.

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações: I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ ; II. Se x ∈ e y ∈ ...

Ver questão

Questão 6

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Considere os polinômios em x ∈ IR da forma p(x) = x5 + a3x3 + a2x2 + a1x. As raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão aritmética d...

Ver questão

Questão 8

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica: I. Se o produto AB fo...

Ver questão

Questão 10

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade Então, um valor possível para o determinante da inversa de M &eacu...

Ver questão