Questão 25

ITA 2014

Matemática

(ITA – 2014) (2ª fase)

Determine quantos paralelepípedos retângulos diferentes podem ser construídos de tal maneira que a medida de cada uma de suas arestas seja um número inteiro positivo que não exceda 10.

Gabarito:

Resolução:

Como é pedido no enunciado os possíveis tamanhos de arestas serão: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Para montarmos um paralelepípedo necessitamos pegar 3 números desse conjunto, note que ao pegarmos o subconjunto {1,2,3} e {2,3,1}, por exemplo, eles determinam o mesmo paralelepípedo, por tanto, é essencial utilizarmos combinação de elementos ao invés de arranjos, onde a ordem importa.

Sendo assim o número de paralelepípedos retângulos diferentes que podemos construir com as medidas propostas, será a combinação composta:

$C_{n+p-1, p} = frac{(n+p-1)!}{p!cdot(n-1)!}$

$C_{10+3-1, 3} = frac{(10+3-1)!}{3!cdot(10-1)!} = frac{12!}{3!cdot9!} = 220$

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