Questão 26

ITA 2014

Matemática

(ITA – 2014) (2ª fase)

Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z

$left{egin{matrix} x &+& y&+& 2z &=& 0\ -x &+& (sin heta) y&+& 4z &=& 0\ 2x &+& (1-cos 2 heta ) y &+& 16z&= & 0 end{matrix} ight., heta in [0,2pi]$

a) Determine $heta$ tal que o sistema tenha infinitas soluções.

b) Para $heta$ encontrado em (a), determine o conjunto-solução do sistema.

Gabarito:

Resolução:

a) Para que o sistema tenha infinitas soluções a determinante com os coeficientes do sistema tem que ser zero, logo temos:

$left| egin{array}{rcr} 1 & 1 & 2 \ -1 & sen( heta ) & 4\ 2 & 1-cos(2 heta ) & 16 end{array} ight| = 0$

Porém, note que:

$1-cos(2 heta ) = 1 - (1-2sen^2( heta )) = 2sen^2( heta )$

Substituindo e resolvendo a determinante, temos:

$left| egin{array}{rcr} 1 & 1 & 2 \ -1 & sen( heta ) & 4\ 2 & 2sen^2( heta ) & 16 end{array} ight| = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sen^2( heta ) - sen( heta )-2 = 0 Leftrightarrow sen( heta ) = -1$

O único valor de $heta in [0, 2pi]$ é $heta = frac{3pi}{2}$

b) Como $heta = frac{3pi}{2}$ , temos que:

$2cdot sen^2left ( frac{3pi}{2} ight ) = 2$
$senleft ( frac{3pi}{2} ight ) = -1$

Logo:

$egin{cases} x+y+2z = 0\ -x-y+4z = 0\ 2x+2y+16z = 0 end{cases}$

Somando a terceira linha com duas vezes a segundo teremos que:

$egin{cases} x+y+2z = 0\ -x-y+4z = 0\ 8z = 0 end{cases} Rightarrow z = 0$

$egin{cases} x+y = 0\ -x-y= 0\ z = 0 end{cases} Rightarrow egin{cases} x+y = 0\ z = 0 end{cases} Rightarrow egin{cases} x = -y\ z = 0 end{cases}$

Portanto, o conjunto solução será:

$S = left { -y, y, 0 ight }, ext { } yin mathbb{R}$

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