Questão 29

ITA 2014

Matemática

(ITA – 2014) (2ª fase)

Três circunferências C₁, C₂ e C₃ são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r₁, r₂ e r₃ destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão $frac{1}{3}$ . A soma dos comprimentos de C₁, C₂ e C₃é igual a 26 $pi$ cm. Determine:

a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C₁, C₂ e C₃.

b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado.

Gabarito:

Resolução:

a) Conforme o enunciado, temos:

$2pi r_{1} + 2pi r_{2} + 2pi r_{3} = 26pi$

Como $r_{1}$ , $r_{2}$ e $r_{3}$ formam uma progressão geométrica, nessa ordem e de razão $frac{1}{3}$ , temos que:

$r_{2} = frac{r_{1}}{3}$ e $r_{3} = frac{r_{1}}{9}$

Substituindo na primeira expressão, temos:

$2pi r_{1} + 2pi left ( frac{r_{1}}{3} ight ) + 2pi left ( frac{r_{1}}{9} ight ) = 26pi Rightarrow$

$Rightarrow frac{18pi r_{1} + 6pi r_{1} + 2pi r_{1}}{9} = 26 pi Rightarrow$

$Rightarrow frac{26pi r_{1}}{9} = 26 pi Rightarrow r_{1} = 9$

Com isso temos que $r_{2} = 3$ e $r_{3} = 1$ .

Dessa forma podemos construir a seguinte figura:

O triângulo ABC é tal que: $AB = 12$ , $AC = 10$ e $BC = 4$ , logo seu semiperímetro será $p = 13$

Calculando a área do triângulo utilizando a medida dos seus lados e seus semiperímetros, temos:

$sqrt{13cdot(13-12)cdot(13-10)cdot(13-4)} = 3sqrt{39}$

b) Traçando a altura h do triângulo em relação ao lado AB, teremos o raio de rotação para geração do sólido.

Sabendo que a área do triângulo é $frac{bcdot h}{2}$ , temos:

$frac{bcdot h}{2} = 3sqrt{39} Rightarrow frac{12cdot h}{2} = 3sqrt{39} Rightarrow h = frac{sqrt{39}}{2}$

Rotacionando o sólido em torno do segmento AB, teremos:

Aqui podemos notar que o nosso sólido é formado por dois cones de raio $h$ e alturas $h_{1}$ e $h_{2}$ , logo:

$V_{T} = V_{1} + V_{2}$

$V_{T} = left ( frac{pi}{3}cdot h^2cdot h_{1} ight ) + left ( frac{pi}{3}cdot h^2cdot h_{2} ight )$

$V_{T} = frac{pi}{3}cdot h^2cdot (h_{1}+h_{2})$

$V_{T} = frac{pi}{3}cdot left ( frac{sqrt{39}}{2} ight )^2cdot (12)$

$V_{T} = 39pi$

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações: I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ ; II. Se x ∈ e y ∈ ...

Ver questão

Questão 6

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Considere os polinômios em x ∈ IR da forma p(x) = x5 + a3x3 + a2x2 + a1x. As raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão aritmética d...

Ver questão

Questão 8

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica: I. Se o produto AB fo...

Ver questão

Questão 10

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade Então, um valor possível para o determinante da inversa de M &eacu...

Ver questão