Questão 30

ITA 2014

Matemática

(ITA – 2014) (2ª fase)

Um cilindro reto de altura h = 1 cm tem sua base no plano xy definida por

$mathrm{x^2 + y^2 - 2x -4y + 4 leq 0}$ .

Um plano, contendo a reta y – x = 0 e paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do menor sólido.

Gabarito:

Resolução:

Perceba que:

$x^{2} + y^{2} - 2x -4y + 4 leq 0$

Completando quadrados:

$(x-1)^{2} + (y-2)^{2} leq 1$

Podemos representar esse plano da seguinte forma:

O plano que contém a reta y-x = 0 é paralelo ao eixo do cilíndro e divide este em dois sólidos.

O menor é um segmento cilíndrico cujas bases são iguais ao segmento circular hachurado, o qual é limitado por um segmento de reta de comprimento $sqrt{2}$ e um arco de comprimento igual a: $2 pi dot 1 cdot frac{1}{4} = frac{pi}{2} cm$

Como a altura desse sólido terá altura igual a 1 centímetro, podemos calcular sua área total A:

$A = (frac{pi}{2} + sqrt{2}) cdot 1 + 2 cdot (frac{frac{pi}{2} cdot 1}{2} - frac{1cdot 1}{2})$

$A = (pi + sqrt{2} - 1) cm^{2}$

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