Questão 23

ITA 2014

Matemática

(ITA – 2014) (2ª fase)

a) Determine o valor máximo de |z + i|, sabendo que |z – 2| = 1, $mathrm{z} in mathbb{C}$ .

b) Se $mathrm{z_0} in mathbb{C}$ satisfaz (a), determine $mathrm{z_0}$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Seja $z = a+bi$ , temos que $left | z-2 ight | = 1$ determina uma circunferência de raio 1 e centro (2,0).

Para encontrarmos o valor máximo de $left | z+i ight | = left | z-(-i) ight |$ , precisaremos calcular a distância d, da figura abaixo:

Note que a distância máxima de -i até z será no ponto D. Essa distância será:

$left | z+i ight |_{max} = d + 1 = sqrt{(2-0)^2+(0-(-1))^2} + 1 = sqrt{5} + 1$

b) Agora devemos determinar $mathrm{z_0}$ , o nosso D, para isso vamos utilizar a seguinte imagem:

Sabendo que os triângulos retângulos BAF e ADH são congruentes, temos:

$sen( heta ) = frac{1}{d} = frac{1}{sqrt{5}}$

$cos( heta ) = frac{2}{d} = frac{2}{sqrt{5}}$

Logo, temos que:

$AH = rcdot cos( heta)$

$AH = 1cdotfrac{2}{sqrt{5}} = frac{2sqrt{5}}{5}$

$DH = rcdot sen( heta)$

$DH = 1cdotfrac{1}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}}{5}$

Portanto, $mathrm{z_0}$ será $2+frac{2sqrt{5}}{5} + frac{sqrt{5}}{5}i$ .

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