Questão 22

ITA 2014

Matemática

(ITA – 2014) (2ª fase) Determine as soluções reais da equação em x, $mathrm{(log_4 x)^3 - log_4 (x^4) - 3} frac{mathrm{log}_{10}16 mathrm{x}}{mathrm{log}_{100}16} = 0$ .

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo algebricamente os termos, temos:

$dfrac{log_{10}{16x}}{log_{100}{16}} = dfrac{frac{log_{4}{16x}}{log_{4}{10}}}{frac{log_{4}{16}}{log_{4}{10^2}}} =$

$= dfrac{frac{log_{4}{16x}}{log_{4}{10}}}{frac{2}{2log_{4}{10}}} = log_{4}{16x} =$

$= log_{4}{16}+log_{4}{x} = 2 + log_{4}{x}$

Substituindo esse valor encontrado na equação principal, temos:

$left (log_{4}{x} ight )^3 - log_{4}{(x^4)} - 3 cdot(2 + log_{4}{x}) = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left (log_{4}{x} ight )^3 - 4log_{4}{x} - 6 -3log_{4}{x} = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left (log_{4}{x} ight )^3 - 7log_{4}{x} - 6 = 0$

Se tomarmos $log_{4}{x} = y$ , teremos:

$y^3 - 7y - 6 = 0 Leftrightarrow (y-3)(y^2+3y+2) = 0$

Portanto, as raízes serão: $y = 3$ , $y = -2$ ou $y = -1$

Logo as soluções reais da equação são:

$log_{4}{x} = 3 Rightarrow x = 4^3 Rightarrow x = 64$

$log_{4}{x} = -2 Rightarrow x = 4^{-2} Rightarrow x = frac{1}{16}$

$log_{4}{x} = -1 Rightarrow x = 4^{-1} Rightarrow x = frac{1}{4}$

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