Questão 301

ITA 2015

Física

Luz de uma fonte de frequência f gerada no ponto P é conduzida através do sistema mostrado na figura. Se o tubo superior transporta um líquido com índice de refração n movendo-se com velocidade u, e o tubo inferior contêm o mesmo líquido em repouso, qual o valor mínimo de u para causar uma interferência destrutiva no ponto P’?

Gabarito:

Resolução:

O atraso do pulso que atravessa o líquido em escoamento, é o fator que acarreta defasagem entre os pulsos de luz que atingem o ponto P'. O atraso citado é representado por $Delta t_{a}$ :

$Delta t_{a}=Delta t_{1}-Delta t_{2} ightarrow Delta t_{a}=frac{L}{V_{1}}-frac{L}{V_{2}}$

V₁ é a velocidade da luz através de um líquido em repouso.

$(V_{1}=frac{c}{n})$

V₂ é a velocidade da luz através de um líquido em escoamento.

A partir da expressão de Lorentz, temos:

$V_{2}=frac{V_{1}+u}{1+frac{V_{1}u}{c^{2}}}$

$Delta t_{a}=frac{L}{V_{1}}-frac{L}{frac{c^{2}(V_{1}+u)}{c^{2}+V_{1}u}}=frac{L}{V_{1}}-frac{L(c^{2}+V_{1}u)}{c^{2}(V_{1}+u)}$

$Delta t_{a}=frac{L[c^{2}(V_{1}+u)-V_{1}(c^{2}+V_{1}u)]}{V_{1}c^{2}(V_{1}+u)}$

$Delta t_{a}=frac{L(c^{2}V_{1}+c^{2}u-c^{2}V_{1}-V_{1}^{2}u)}{V_{1}c^{2}(V_{1}+u)}$

$Delta t_{a}=frac{Lu(c^{2}-V_{1}^{2})}{V_{1}c^{2}(V_{1}+u)} ightarrow Delta t_{a}=frac{Lu(c^{2}-V_{1}^{2})}{c^{2}(V_{1}^{2}+V_{1}u)}$

Calculo da defasagem angular ( $Delta varphi$ ), no ponto P', dos pulsos de luz, graças à defasagem $Delta t_{a}$

$Deltavarphi =frac{2pi}{T}Delta t_{a} ightarrow Deltavarphi =2pi f[frac{Lu(c^{2}-V_{1}^{2})}{c^{2}(V_{1}^{2}+V_{1}u)}]$

O valor de mínimo de $Deltavarphi$ , para que ocorra interferência destrutiva, é $pi rad$ .

Assim:

$pi=2pi f[frac{Lu(c^{2}-V_{1}^{2})}{c^{2}(V_{1}^{2}+V_{1}u)}]$

$c^{2}(V_{1}^{2}+V_{1}u)=2Luf.(c^{2}-V_{1}^{2})$

$c^{2}(frac{c^{2}}{n^{2}}+frac{c}{n}u)=2Luf(c^{2}-frac{c^{2}}{n^{2}})$

$frac{c^{2}}{n^{2}}+frac{cu}{n}=2Luf(1-frac{1}{n^{2}})$

$frac{c^{2}+cun}{n^{2}}=2Luf(frac{n^{2}-1}{n^{2}})$

$c^{2}=u[2Lf(n^{2}-1)-cn]$

Logo:

$Delta t_{a}=frac{c^{2}}{2Lf(n^{2}-1)-cn}$

Chegamos, assim, à alternativa D.

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