Questão 22

ITA 2015

Física

(ITA – 2015) (2ª fase) Uma nave espacial segue inicialmente uma trajetória circular de raio $r_A$ em torno da Terra. Para que a nave percorra uma nova órbita também circular, de raio $r_B >r_A$ , é necessário por razões de economia fazer com que ela percorra antes uma trajetória semieliptica, denominada órbita de transferência de Hohmann, mostrada na figura. Para tanto, são fornecidos à nave dois impulsos, a saber: no ponto A, ao iniciar sua órbita de transferência, e no ponto B, ao iniciar sua outra órbita circular. Sendo M a massa da Terra; G, a constante da gravitação universal; $m;e;v$ , respectivamente, a massa e a velocidade da nave; e constante a grandeza $mrv$ na órbita elíptica, pede-se a energia necessária para a transferência de órbita da nave no ponto B

Gabarito:

Resolução:

No ponto B teremos uma variação da energia cinética, pois mudaremos a órbita elíptica ( $v_{B1}$ para uma órbita circular $v_{B2}$ .

Podemos calcular a velocidade da órbita circular:

$v_{B2} = sqrt{frac{GM}{r_{B}}}$

$v_{B2}^{2} = {frac{GM}{r_{B}}}$

Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica, sabemos que a energia no ponto A da órbita elíptica será exatamente igual à energia no ponto B, tal que:

$frac{-GMm}{r_{a}} + frac{mv_{A}^{2}}{2} = frac{-GMm}{r_{B}} + frac{mv_{B1}^{2}}{2}$

$-GM cdot 2r_{B} + r_{A} cdot r_{B} v_{A}^{2} = -GM cdot 2r_{A} + r_{A } cdot r_{B} v_{B1}^{2}$

Da conservação do momento angular:

$m_{A}v_{A}r_{A} = mv_{B1}r_{B}$

$v_{A}^{2} = frac{R_{B}^{2}}{r_{A}^{2}} cdot v_{B1}^{2}$

Substituindo:

$r_{A} cdot r_{B} cdot ( frac{R_{B}^{2}}{r_{A}^{2}} cdot v_{B1}^{2}) - R_{A}r_{B}v_{B1}^{2} = 2GM ( r_{B}-r_{A})$

$r_{A}r_{B}v_{B1}^{2} cdot (frac{r_{B}^{2}-r_{A}^{2}}{r_{A}^{2}}) = 2GM (r_{B}-r_{A})$

$frac{r_{B}}{r_{A}} v_{B1}^{2}(r_{B}-r_{A})(r_{B}+r_{A}) = 2GM (r_{B} - r_{A})$

$v_{B1}^{2} = frac{2r_{A}GM}{r_{B}(r_{A}+r_{B})}$

Assim, a variação da energia cinética no ponto B será dada por:

$Delta E_{c} = frac{mv_{B2}^{2}}{2} - frac{v_{B1}^{2}}{2}$

$Delta E_{c} = frac{m}{2}(v_{B2}^{2}-v_{B1}^{2})$

$Delta E_{c} = frac{m}{2}[frac{GM}{r_{B}} - frac{2r_{A}GM}{r_{B}(r_{A}+r_{B})}]$

$Delta E_{c} = frac{GMm}{2r_{B}} (1-frac{2r_{A}}{(r_{A}+r_{B})})$

$oxed {Delta E_{c} = frac{GMm}{2r_{B}} cdot (frac{r_{B}-r_{A}}{r_{B}+r_{A}})}$

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