Questão 26

ITA 2015

Física

(ITA – 2015) (2ª fase) A base horizontal de um prisma de vidro encontra-se em contato com a superfície da água de um recipiente. A figura mostra a seção reta triangular deste prisma, com dois de seus ângulos, α e β. Um raio de luz propaga-se no ar paralelamente à superfície da água e perpendicular ao eixo do prisma, nele incidindo do lado do ângulo β, cujo valor é tal que o raio sofre reflexão total na interface da superfície vidro-água. Determine o ângulo α tal que o raio emerja horizontalmente do prisma. O índice de refração da água é $frac{4}{3}$ e, o do vidro, $frac{sqrt{19}}{3}$ .

Gabarito:

Resolução:

Calculando o ângulo limite:

$sen heta _{L} = frac{n_{agua}}{n_{vidro}}$

$sen heta _{L} = frac{frac{4}{3}}{sqrt{frac{19}{3}}}$

$sen heta _{L} = frac{4}{sqrt{19}}$

Pela equação fundamental da trigonometria:

$sen^{2} heta _{L} + cos^{2} heta _{L} = 1$

$(frac{4}{sqrt{19}})^{2} + cos^{2} heta _{L} = 1$

$cos^{2} heta _{L} = 1 - frac{16}{19}$

$cos^{2} heta _{L} = frac{19 - 16}{19}$

$cos^{2} heta _{L} = frac{3}{19} Rightarrow cos heta _{L} = sqrt{frac{3}{19}}$

Lei de Snell na primeira face de refração:

$n_{tR} cdot sen(90 - eta) = n_{vidro} cdot sen( heta _L - eta)$

$1 cdot cos eta = frac{sqrt{19}}{3} cdot ( sen heta _{L} cdot cos eta - sen eta cdot cos heta _{L})$

$cos eta = frac{sqrt{19}}{3} cdot frac{4}{sqrt{19}} cdot cos eta - frac{sqrt{19}}{3} cdot sen eta cdot sqrt{frac{3}{19}}$

$frac{sqrt{3}}{3} sen eta = frac{4}{3} cos eta - cos eta$

$frac{sqrt{3}}{3}sen eta = frac{1}{3} cos eta$

$frac{sen eta}{cos eta} = frac{sqrt{3}}{3}$

$tg eta = frac{sqrt{3}}{3} Rightarrow eta = 30 ^{circ}$

Pela figura é possível perceber que $alpha = eta$

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