Questão 10

ITA 2019

Física

[Resolução ITA 2019 2ª fase 10ª questão]

Queremos estimar a velocidade v desse elétron. Pelo Princípio da Incerteza de Heinsenberg, para precisarmos a velocidade devemos ter máxima incerteza na posição do elétron, logo:

$underbrace{Delta p}_{macute{a}xima , precisao} cdot underbrace{Delta x}_{minima , precisao} geq frac{hbar}{2}$

No caso de máxima precisão, a desigualdade nesta Lei tende a igualdade, daí:

$Delta p cdot Delta x ightarrow frac{hbar}{2}$

Logo: $Delta x cdot underbrace{mcdot v_{x}}_{Delta p ightarrow p} = frac{hbar}{2}$

No caso do problema, a máxima incerteza na posição é 2a, uma vez que a partícula necessariamente está confinada em uma esfera de raio a.

Portanto, $v_{x} = frac{hbar}{4ma}$

Da equipartição de energia:

$v_{x} = v_{y}=v_{z}$

Desse modo, $v = sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2}= v_{x}sqrt{3} = frac{hbar cdot sqrt{3}}{4ma}$

E a energia, por sua vez:

$E = frac{mv^2}{2}=frac{3hbar ^2}{32ma^2}$

b) Do modelo atômico de Bohr,

$vec{L} = nhbar cdot vec{k} = mcdot vec{r_{B}} imes vec{v_{B}}$

Para o estado fundamental, n = 1... daí:

$v_{B} = frac{hbar}{mcdot r_{B}}$

Para $v > v_{B}$

$frac{hbar cdot sqrt{3}}{4ma} > frac{hbar}{mcdot r_{B}} Rightarrow frac{a}{r_{B}} < frac{sqrt{3}}{4}$

Gabarito:

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