Questão 9

ITA 2021

Física

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

Uma espira circular condutora de raio $R$ , feita de um fio fino de resistividade elétrica $ho$ e massa específica $ho_{m}$ , cuja secção transversal tem diâmetro $d$ , está caindo, com velocidade $v$ variável, sob a ação da gravidade, em uma região de campo magnético não uniforme. A componente vertical do campo magnético obedece a relação $B_{z}=B_{0}(1+kz)$ , em que $B_{0}$ e $k$ são constantes físicas de unidade adequadas e $z$ é a coordenada vertical. A espira mantém-se sempre paralela ao plano $xy$ , como mostra a figura. Desprezando os efeitos da resistência do ar no movimento de queda da espira, faça o que se pede nos itens a seguir.

(a) Calcule a potência elétrica instantânea dissipada na espira.

(b) Calcule a velocidade terminal de queda $v_{t}$ da espira.

Gabarito:

Resolução:

Campo não uniforme

$overrightarrow{B_e} = overrightarrow{B_0} cdot (1+kz), B_0 ; e ; k$

a) $P_d = ?$

$S= pi cdot R^2$

$B_z=B_0cdot (1+kz), B_0 ; k ; e ; R$

O fluxo magnético $phi _{mag} = overrightarrow{B} cdot overrightarrow{A} = B_0 cdot (1+kz) cdot pi cdot R^2$

$phi =pi r B_0 + B_0 kz pi R^2$

Pela lei de Faraday:

$left | frac{d phi _{mag}}{dt} ight | = left | B_0 k pi R^2 cdot frac{dz}{dt} ight | = epsilon _{ind}$

$Rightarrow P_d = frac{epsilon ^2}{R} = frac{B_o^2k^2pi^2cancel{R^4}v_z^2d^2}{8 ho cancel{R}}$

$Rightarrow P_d = frac{B_o^2k^2pi^2R^3v_z^2d^2}{8 ho }$

Como

$R=frac{ ho cdot L}{A} = frac{ ho cdot 2pi R}{pi cdot left ( frac{d}{2} ight )^2} = frac{8 ho R}{d^2}$

Logo,

$Rightarrow P_d = frac{(B_okpi v_z d)^2 R^3}{8 ho }$

b) Velocidade terminal de queda ->

Para tanto, a potência fornecida pela força Peso, na direção z (componente vertical) será dissipada.

$overrightarrow{P} cdot v_z = P_d$

$moverrightarrow{g} cdot v_z = P_d$

$pi cdot left ( frac{d}{2} ight )^2 cdot 2pi R cdot f_m cdot g cdot v_z = P_d$

$pi cdot left ( frac{d}{2} ight )^2 cdot 2pi R cdot f_m cdot g cdot v_z = frac{B_o^2k^2pi^2 v_z^2 d^2 R^3}{8 ho }$

Simplificando:

$v_z = frac{4 ho f_m g}{B_o^2k^2R^2}$

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