Questão 4

ITA 2023

Física

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Considere uma nave espacial esférica, de raio $R$ , com paredes de espessura $h < R$ . No espaço profundo, existe uma radiação cósmica de fundo de temperatura $T_{0}$ (aproximadamente 2,7 K). Seja a temperatura da parede interna da nave $T_{i}$ , e a temperatura da parede externa $T_{e}$ , com $Ti > Te> T_{0}$ . A condutividade térmica do material que compõe a parede da nave é $k$ ; o seu calor específico é $c$ e sua densidade de massa é $ho$ . A emissividade da nave é unitária e a constante de Stefan-Boltzmann é dada por $sigma$ . Quando ocorrem pequenas variações de temperatura na parede interna da nave, a condição de fluxo estacionário de calor é perturbada e o sistema tende a uma nova situação de fluxo estacionário de energia. A constante de tempo característica $au$ desse processo pode ser estimada apenas em termos das características do material que compõem o revestimento da nave – $k$ , $c$ e $ho$ – bem como sua espessura $h$ .

Faça o que se pede:

a) obtenha a equação polinomial cuja raiz forneça $T_{e}$ com os coeficientes em termos de $k, sigma , h, T_{i} e T_{0}$ , considerando a condição de fluxo de calor estacionário;

b) estime, por análise dimensional, uma expressão para $au$ .

Gabarito:

Resolução:

A) Regime estacionário na superfície externa:

$P_{absorvida}=P_{emitida}$

$frac{kA(T_i-T_e)}{h}+sigma AT_0^4=sigma A T_e^4$

$kT_i-kT_e+sigma h T_0^4-sigma h T_e^4=0$

B) $au = gamma k^{a}C^b ho^ch^d$ , em que $gamma$ é uma constante de proporcionalidade.

• $[k]=MLT^{-3} heta ^{-1}$ → condutividade térmica

• $[C]=L^2T^{-2} heta^{-1}$ → calor específico

• $[ ho]=ML^{-3}$ → densidade de massa

• $[ au]=T$ → característica de tempo

• $[h]=L$ → espessura

$au = gamma k^{a}c^b ho^ch^d$

$T=(MLT^{-3} heta^{-1})^a(L^2T^{-2} heta^{-1})^b(ML^{-3})^cL^d$

$T=M^{a+c}cdot L^{a+2b-3c+d}cdot T^{-3a-2b} cdot heta ^{-a-b}$

$left{egin{matrix} a+c=0\ a+2b-3c+d=0 \-3a-2b=1 \-a-b=0 end{matrix} ight.$

$a=-b$ → $-3a+2a=1$ , $a=-1$ e $b=1$

$c=1$

$-1+2-3+d=0$ → $d=2$

$au = gamma k^{a}c^b ho^ch^d$ ⇒ $au = gamma k^{-1}c^1 ho^1h^2$

$au = frac{gamma c ho h^2}{k}$

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