Questão 8

ITA 2023

Física

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Um laboratório de paredes adiabáticas possui N computadores de alta performance que precisam ser mantidos a uma temperatura T. Para isso, é instalado um ar-condicionado que atua como uma máquina térmica de máxima eficiência possível, operando entre a temperatura do laboratório e a temperatura do meio externo $T _{e}$ . Cada computador possui $n_{c}$ circuitos. A Figura 1 é o esquema de um circuito. Cada resistor de cada circuito é formado por um fio de cobre de diametro $epsilon$ , com $n_v$ voltas por unidade de comprimento, enrolado em um cilindro de cerâmica de raio $r$ e comprimento $l$ , como na Figura 2.

Determine:

a) a potência dissipada pelos computadores, considerando $ho _{0}$ a resistividade do cobre a uma temperatura padrão $T _{0}$ e α o seu coeficiente de temperatura;

b) a energia consumida pelo ar-condicionado em 1 dia.

Gabarito:

Resolução:

é equivalente a que é equivalente a

A) Resistência de cada resistor, pela 2ª Lei de Ohm:

$ho = ho_0(1+alpha Delta T)= ho_0(1+alpha (T-T_0))$

Área da secção transversal: $A=frac{pi epsilon ^2}{4}$

Aproximação usual para espiras:

$L=(numero;de ; voltas )(comprimento ; por ; volta)$

$L=l cdot n_v cdot 2pi r$

A resistência é dada por:

$R=frac{ ho L}{A}=frac{2pi r n_v l ho _0(1+alpha (T-T_0))}{frac{pi epsilon ^2}{4}}$

$R=frac{8 r n_v l ho _0(1+alpha (T-T_0))}{epsilon ^2}$

Potência dissipada por circuito:

$P=frac{V^2}{2R}$

Potência total:

$P_{total}=Nn_c frac{V^2}{2R}$

$P_{total}= frac{Nn_c V^2 epsilon ^2}{16rn_v l ho_0 (1+alpha (T-T_0))}$

B) Ar-condicionado na eficiência máxima tem um coeficiente de desempenho igual ao de Carnot:

$eta = frac{Q_f}{W}=frac{T_f}{T_q-T_f}=frac{T}{T_e-T}$

$W=Q_fleft ( frac{T_e-T}{T} ight )$

Em um dia, temos $Delta t = 24 cdot 3600 =86,4 cdot 10^3 ; s$ . Calor total dissipado por Efeito Joule em um dia:

$Q_f= 86,4 cdot 10^3 cdot frac{Nn_c V^2 epsilon ^2}{16rn_v l ho_0 (1+alpha (T-T_0))}$

$Q_f= 5,4 cdot 10^3 cdot frac{Nn_c V^2 epsilon ^2}{rn_v l ho_0 (1+alpha (T-T_0))}$

Assumindo que toda a energia consumida pelo ar-condicionado seja convertida em trabalho no compressor:

$W=Q_fleft ( frac{T_e-T}{T} ight )$

$W=5,4 cdot 10^3 cdot frac{Nn_c V^2 epsilon ^2}{rn_v l ho_0 (1+alpha (T-T_0))} cdot left ( frac{T_e-T}{T} ight )$

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