Questão 6964

MACKENZIE 1975

Matemática

(MACK - 75) Para 0 ≤ x ≤ 2, o conjunto-solução de (sen x + cos x)² > 1 é:

A

B

C

D

E

Ø

Gabarito:

Resolução:

Resolução 1:

1) $mathrm{Usando:a:seguinte:identidade}:quad cos left(x ight)+sin left(x ight)=sqrt{2}sin left(frac{pi }{4}+x ight)$

$left(sqrt{2}sin left(frac{pi }{4}+x ight) ight)^2>1$

2) $mathrm{Simplificando}:left(sqrt{2}sin left(frac{pi }{4}+x ight) ight)^2:quad 2sin ^2left(frac{pi }{4}+x ight)$

$sin ^2left(frac{pi }{4}+x ight)>frac{1}{2}$

3) $mathrm{Para:}u^n:>:amathrm{,:então} ; u:>:-sqrt[n]{a}:or:u:<:sqrt[n]{a}$

$sin left(frac{pi }{4}+x ight)<-sqrt{frac{1}{2}}quad mathrm{ou}quad sin left(frac{pi }{4}+x ight)>sqrt{frac{1}{2}}$

4) $Para sin left(frac{pi }{4}+x ight)<-sqrt{frac{1}{2}}quad :quad -pi <x<-frac{pi }{2}$

5) $Para sin left(frac{pi }{4}+x ight)>sqrt{frac{1}{2}}quad :quad 0<x<pi -frac{pi }{2}$

6) $mathrm{Combinando:os:intervalos}$

$-pi <x<-frac{pi }{2}quad mathrm{or}quad :0<x<pi -frac{pi }{2}$

7) $mathrm{A:periodicidade:composta:é pi:}$

Logo,

$-pi +pi n<x<-frac{pi }{2}+pi nquad mathrm{or}quad :pi n<x<pi -frac{pi }{2}+pi n$

8) para n=1:

Resolução 2:

$left(sin left(x ight)+cos left(x ight) ight)^2 > 1$

1) Desenvolvendo:

$cos ^2left(x ight)+sin ^2left(x ight)+2cos left(x ight)sin left(x ight) > 1$

2) $mathrm{Usar:a:seguinte:identidade}:quad cos ^2left(x ight)+sin ^2left(x ight)=1$

$1+2cos left(x ight)sin left(x ight) > 1$

3) $mathrm{Usar:a:seguinte:identidade}:quad :2cos left(x ight)sin left(x ight)=sin left(2x ight)$

$1+sin left(2x ight)>1$

4) Simplificando:

$sin (2x)>0$

5) Solução:

$pi n<x<frac{pi }{2}+pi n$

6) Para n=0 e n=1

$n=0 ightarrow 0<x<frac{pi }{2}$

$n=1 ightarrow pi <x<frac{3 pi }{2}$

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