Questão 7302
PUC 2011
(Pucsp 2011) Em um sistema cartesiano ortogonal, em que a unidade de medida nos eixos é o centímetro, considere:
- a reta r, traçada pelo ponto (2,3) e paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares;
- a reta s, traçada pelo ponto (2,5) e perpendicular a r;
- o segmento
em que O é a origem do sistema e A é a intersecção de r e s.
Um ponto M é tomado sobre o segmento OA de modo que OM e MA correspondam às medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo Δ . Se o outro cateto de Δ mede 3 cm, a área de sua superfície, em centímetros quadrados, é
1,8
2,4
3,5
4,2
5,1
Gabarito:
2,4
Resolução:
Vamos à determinação da reta r. Ela é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares (y=x) logo ela será da forma:
Como ela passa por (2,3), pode-se dizer então que:
Vamos agora determinar s. Pode-se dizer que as inclinações das retas r e s (), como as retas são perpendiculares, têm a seguinte propriedade:
Assim, a reta s é da forma:
Como (2,5) pertence a s,
Vamos determinar o ponto A (intersecção entre r e s)
Para determinar o comprimento de OA utilizamos a fórmula:
Então, sendo a hipotenusa a, e os catetos b e c=3, pode-se dizer que :
Somando as duas equações determinamos o a:
Substituindo na primeira equação:
Assim a área é: