Questão 21189

PUC 2016

Matemática

(Pucsp 2016) Se 2 é a única raiz da equação , então, relativamente às demais raízes dessa equação, é verdade que são números complexos

cujas imagens pertencem ao primeiro e quarto quadrantes do plano complexo.

que têm módulos iguais a 2.

cujos argumentos principais são 45° e 135°.

cuja soma é igual a 2i.

Gabarito:

cujas imagens pertencem ao primeiro e quarto quadrantes do plano complexo.

Resolução:

Vamos supor as outras duas raízes como números complexos:

$z=a+bi$

$w=c+di$

Se 2 é raiz real, então pelas relações de Girard:

$x_1+x_2+x_3=frac{-b}{a}$

$2+z+w=4$

$a+bi+c+di=2$

Para que essa relação seja verdadeira, a parte imaginária tem que se cancelar, logo:

$bi=-di$

$a+c=2$

Por outra relação de Girard para as raízes, temos:

$x_1*x_2*x_3=frac{-d}{a}$

$2*(a-di)(c+di)=4$

$ac+adi-cdi+d^2=2$

Novamente a parte imaginária deve se anular e para isso:

$a=c$

Então pelas condições das raízes complexas:

$a=c$

$bi=-di$

Nota-se que eles tem que ter parte real igual e parte imaginária de sinal contrário. Isso ocorre entre números complexos do primeiro e quarto quadrante.

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