Questão 30429

Matemática

A equação $3sen^2x+(m-1)sen x - 4(m-1)^2 = 0$ admite solução para os valores de m pertencentes ao intervalo:

$[-1,1]$

$[0,2]$

$egin{bmatrix} frac{1}{4}, frac{9}{4} end{bmatrix}$

$egin{bmatrix} -frac{1}{4}, frac{7}{4} end{bmatrix}$

$[1,4]$

Gabarito:

$[0,2]$

Resolução:

Dada a equação

3*sen²x + (m - 1)*senx - 4*(m - 1)² = 0

Sabemos que para que haja solução real, devemos ter Δ ≥ 0, assim vem:

Δ = (m - 1)² - 4*(3)*(-4*(m - 1)²) = 49*(m - 1)² = 7²*(m - 1)² ≥ 0.

Vimos que Δ ≥ 0 para qualquer m real, pois (m - 1)² é maior ou igual a zero sempre.

Contudo, sabemos que senx deve ser maior igual a -1 e menor igual a 1. Assim, temos que as raízes da equação devem estar nesse intervalo.

Calculando as raízes, temos:

$senx = frac{-bpm sqrt{ Delta } }{2a} = frac{1- m pm 7*(m-1)}{2*3}$

Assim,

senx = m - 1

senx = 4(1 - m)/3

Agora, verificamos os valores de m para o intervalo em que senx deve pertencer:

1) Para senx = m - 1:

-1 ≤ m - 1 ≤ 1, então

0 ≤ m ≤ 2 (I)

2) Para senx = 4(1 - m)/3:

-1 ≤ 4(1 - m)/3 ≤ 1, então

-3/4 ≤ 1 - m ≤ 3/4, então

-7/4 ≤ -m ≤ -1/4, então

1/4 ≤ m ≤ 7/4 (II)

Fazendo a união dos dois conjuntos solução (I) e (II), temos que

0 ≤ m ≤ 2

GABARITO: b