Questão 8046

UDESC 2016

Matemática

(Udesc 2016) Um polinômio do terceiro grau, cujo coeficiente do termo dominante é igual a 1, admite apenas raízes reais e distintas que quando multiplicadas resultam em 15 e quando somadas resultam em 1. Se o resto da divisão desse polinômio por g(x)=x+2 é igual a 7, então o quociente dessa divisão é igual a:

Gabarito:

Resolução:

Seja p(x) o polinômio do problema. Quando é dito que o resto de sua divisão por x+2 é 7, e que seu coeficiente líder é 1, podemos escrever:

p(x)=(x²+ax+b)(x+2)+7 => p(x)=x³+(a+2)x²+(2a+b)x+2b+7

agora lembremos das relações de Girard (ou Viète dependendo do autor), sendo r1, r2 e r3 s raízes de p:

r1+r2+r3=-(a+2)=1 => a=-3

r1*r2*r3=(-1)³(2b+7)=-2b-7=15 => b=-11

portanto o quociente será x²-3x-11.

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