Questão 32252

UDESC 2018

Matemática

Uma espécie de espiral é composta por segmentos de reta ligados por suas extremidades de modo que os comprimentos dos segmentos e os ângulos formados estejam ambos em progressão aritmética. A Figura 2 é um exemplo desta espiral.

Considere uma espiral deste tipo com a razão da PA formada pelos comprimentos dos segmentos igual -12 e a razão da PA formada pelos ângulos B, C, D, E, … igual a -10, com B igual a 130 graus. Sabendo-se que o segmento EG mede 60 cm, a medida do segmento AB é igual a:

A

96 cm

B

48 cm

C

84 cm

D

108 cm

E

72 cm

Gabarito:

96 cm

Resolução:

Se $AB=x$ : $BC=x-12$ , $CD=x-24$ , $DE=x-36$ , $EF=x-48$ e $EF=x-60$ .

Além disso: $Awidehat{B}C=130^{circ}$ então,

$Bwidehat{C}D=130^{circ}-10^{circ}=120^{circ}$ ,

$Cwidehat{D}E=130^{circ}-20^{circ}=110^{circ}$ ,

$Dwidehat{E}F=130^{circ}-30^{circ}=100^{circ}$ .

$Ewidehat{F}G=130^{circ}-40^{circ}=90^{circ}$

O triângulo EFG é retângulo, ou seja, $EF^2+FG^2=EG^2$ :

$(x-49)^2+(x-60)^2=60$

$x^2-96x+2304+x^2-120x+3600=3600$

$2x^2-216x+2304=0$

$x^2-108x+1152=0$

Fatorando a expressão:

$(x-12)cdot (x-96)=0$

Como $AB> FG$ , $AB=96$ portanto, a alternativa correta é a alternativa A

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