Questão 69603

UECE 2011

Matemática

(UECE - 2011) Dada a função f : R → R, definida por f(x) = | x² - 6x + 5 |, existe um único número y₀ tal que para exatamente três números x₁, x₂, x₃ verifica-se a relação f(x₁) = f(x₂) = f(x₃) = y₀. Nestas condições o valor da soma x₁ + x₂ + x₃ é

Gabarito:

Resolução:

1) Vamos primeiro encontrar o gráfico da função f.

i) Raízes de f:

$x^2-6x+5=0$

$(x-1)(x-5)=0$

ii) Vamos definir a função $g(x) = x^2-6x+5$ . Como $f(x)=|g(x)|$ , o gráfico de f corresponde ao traçado em verde:

2) Conhecendo o gráfico da função, notamos que a única reta horizontal que passa por exatamente 3 pontos do gráfico é a reta $y=4$ , como pode ser visto a seguir:

Dessa forma, já notamos que $x_1$ é igual a 3, que é o vértice da parábola. Para descobrir $x_2$ e $x_3$ , basta substituir na equação:

$x^2-6x+5=4$

$x^2-6x+1=0$

Soma de $x_2$ e $x_3$ : $x_2+x_3=-frac{-6}{1}=6$

Logo: $x_1+x_2+x_3=3+6=9$

Alternativa correta é Letra D.