Questão 42660

UECE 2017

Matemática

(Uece 2017) Três esferas, cujas medidas dos raios são respectivamente 1 cm, 2 cm e 3 cm, repousam sobre um plano horizontal e tangenciam-se mutuamente, isto é, cada esfera tangencia as outras duas. Os pontos de contato dessas esferas com o plano são vértices de um triângulo. O produto das medidas dos lados desse triângulo, em cm³, é igual a

Gabarito:

Resolução:

[A]

Considere a figura, em que A, B e C são, respectivamente, os centros das esferas de raios 1 cm, 2 cm e 3 cm.

Sejam A', B' e C', respectivamente, as projeções dos pontos A, B e C sobre o plano xOy, que que O coincide com A'. Ademais, sejam P, Q e R, respectivamente ,as projeções ortogonais de A sobre BB', de B sobre CC' e de A sobre CC'.

Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, vem:

$overline{AB} = overline{AP}^2 + overline{BP}^2 Rightarrow 3^2 = overline{AP}^2 + 1^2$

$Rightarrow overline{AP} = 2 sqrt 2 cm,$

$overline{BC} ^2 = overline{BQ}^2 + overline{CQ}^ 2 Rightarrow 5 ^2 = overline{BQ}^2 + 1^2$

$Rightarrow overline{BQ} = 2 sqrt 6 , cm$

$overline{AC}^2 = overline{AR} ^2 + overline{CR}^2 Rightarrow 4 ^2 = overline{AR}^2 + 2^2$

$Rightarrow overline{AR} = 2 sqrt 3 cm$

Em consequência, a resposta é

$2 sqrt 2 cdot 2 sqrt 6 cdot 2 sqrt 3 = 48 , cm^3$

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