Questão 40150

UEG 2010

Física

(Ueg 2010) Observe a figura.

Nessa figura, está representada uma máquina hipotética constituída de uma sequência infinita de engrenagens circulares E₁, E₂, E₃... que tangenciam as retas s e t. Cada engrenagem E_n tangencia a próxima engrenagem E_n+1.

Para todo número natural positivo n, R_n e w_n são, respectivamente, o raio e a velocidade angular do circuito E_n.

Considerando estas informações e que R₁ = 0,1 u.

a) Determine R_n em função de n.

b) Mostre que w_n+1 = 3w_n para todo n.

Gabarito:

Resolução:

Vamos analisar a figura:

Analisando a figura temos que:

$sen(30) = frac{ R_{ N+1 }}{ R } = frac{ R_N }{ R + R_{ R+1 } } = frac 12$

Assim se quiserem as euações da seguinte maneira:

$\ R = 2R_{N+1} \ \ R = R_{N} + R_{ N+1 } = 2R_N$

Assim o resultado dessa solução

$R_{N+1} = frac 13 . R_n$

Agora podemos colocar alguns resultados como:

$R_1 = 0,1$

$R_2 = frac 13 R_1 = frac {0,1}3$

$R_3 = frac 13 R_2 =( frac {0,1}{3} ) ^2$

Assim podemos concluir que:

$R_N = (frac 1{30}) ^{N-1}$

b) Devemos lembrar da seguinte equação de movimento:

V = w.R

assim como as velocidade linears são iguais achamos a seguinte equação:

$w _{N+1} . R_{N+1} = w_N .R_N$

Sabendo da relação que

$R_N = (frac {1}{30}) ^{N-1}$

temos que :

$w_{N+1} = 30w_N$