Questão 12477

UEL 2017

Matemática

(Uel 2017) Leia o texto a seguir.

A biometria é utilizada para a identificação pessoal e apresenta as seguintes características: universalidade, imutabilidade, facilidade de coleta e aceitação pública. A utilização das impressões digitais para reconhecimento biométrico oferece segurança e eficácia, podendo substituir os cartões e as senhas que se usa no dia a dia.

Adaptado de: MAZI, R. C.; PINO JUNIOR, A. Identificação biométrica através da impressão digital usando redes neurais artificiais. Anais do XIV Encita. 2008.

Suponha que esse processo seja constituído de duas etapas: na primeira, o usuário tem seu polegar digitalizado e a imagem gerada é transformada em um padrão matemático; na segunda, esse padrão é comparado em um banco de dados de usuários para se determinar a quem pertence a imagem digitalizada. Suponha também que o padrão matemático armazenado seja a equação da elipse central presente no polegar direito e que o banco de dados de usuários contenha as entradas a seguir.

Um desses usuários teve o polegar direito digitalizado e as propriedades da elipse central E (ilustrada na figura) são as seguintes:

- A elipse E passa pelo ponto (1, 0);
- A elipse E não intercepta o eixo y;
- A elipse E intercepta o eixo x em apenas um ponto.

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o usuário a quem pertence a digital.

Bento Alves.

Egbert.

Macabéa.

Marius.

Olímpico.

Gabarito:

Olímpico.

Resolução:

Devemos verificar as três condições dadas no enunciado para cada expressão matemática dada na tabela.

- A elipse E passa pelo ponto (1, 0);

Substituindo o ponto (1; 0) nas expressões, temos:

Bento Alves: $sqrt{2}(1-2)^{2}+(0-1)^{2}=sin^{2}(7)$ (ASURDO, POIS sin(x) ≤ 1 PARA TODO x).

Egbert: $2(1-1)^{2}+(0-sqrt{2})^{2}=log_{3}9=2$ (VERDADE)

Macabéa: $(1-1-sen(3))^{2}+(0-cos(3))^{2}=2$ (ABSURDO, POIS cos²(x) + sen²(x) = 1 PARA TODO x)

Marius: $(1-1)^{2}+frac{(0-sqrt{3})^{2}}{sqrt{3}} = sqrt{3}+1$ (ABSURDO!!)

Olímpico: $7(1-1)^{2}+frac{5}{2}(0-sqrt{2})^{2}=5cdot cos(0) = 5$ (VERDADE)

Daqui vemos que a primeira informação é válida apenas para o Egbert e para o Olímpico.

- A elipse E não intercepta o eixo y;

Não deve haver solução para x = 0.

Egbert: $2(1-1)^{2}+(y-sqrt{2})^{2}=log_{3}9=2Rightarrow$

$(y-sqrt{2})^{2}=2Rightarrow$

$y = 0; ; ; ou ; ; ; y= 2sqrt{2}$

Logo, vemos que o polegar não é do Egbert, pois existem soluções reais para x = 0.

Assim, podemos concluir que o polegar é do Olímpico. Não é preciso verificar as demais informações.

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