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Questão 6590

UERJ 2002
Matemática

(Uerj 2002) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração:

- colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD;

- em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD.

Veja as figuras adiante.

Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da circunferência maior e do raio do CD, chamando-a de x.

Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada.

Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y:

A

x + y = π-1

B

x + y = π-2

C

y - x = π-2

D

y - x = π-1

Gabarito:

x + y = π-1



Resolução:

  • Para o CD:

c_1 = 2cdot pi cdot R_1 ;;;;;;Rightarrow R_1=frac{c_1}{2pi}

 

  • Agora, com o barbante:

c_2=c_1 +1= 2cdot pi cdot R_2 ;;;;;;Rightarrow R_2=frac{c_1+1}{2pi}

Portanto, 

x=R_2-R_1;;;;;Rightarrow x=frac{c_1+1-c_1}{2pi};;;;;Rightarrow x=frac{1}{2pi}

Para a Terra, o raciocínio é análogo.

A diferença será igual à x:

x+y=frac{1}{2pi}+frac{1}{2pi};;;;;;Rightarrow ;;x+y=frac{1}{pi}

 

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