Questão 65756

UERJ 2005

Matemática

(UERJ-2005) Uma cuba de superfície semi-esférica, com diâmetro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba. Desprezando a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine:

a) a maior área, em cm² , pela qual a bola de gude poderá se deslocar na superfície da mesa;

b) o volume, em cm³ , da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba.

Gabarito:

Resolução:

Fazendo um corte lateral na cuba, conseguimos visualizar a seguinte imagem:

Onde A é o centro da cuba, C o centro da bola e D o ponto de tangência entre os objetos.

a) Para determinarmos a maior área, podemos utilizar a ilustração acima. A área será delimitada pela circunferência criada pelo ponto E ao girarmos a bola de gude por toda a cuba, mantendo sempre o ponto de tangência.

Com base nas informações do enunciado, temos: DA = 4 cm, AC = 3 cm e DC = 1 cm, além disso, sabemos que CE = 1 cm. Seja EA o raio x da circunferência que queremos.

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

$CA^2 = CE^2 + EA^2$

$9 = 1 + x^2 Leftrightarrow x^2 = 8$

A área em que a bola pode ser deslocar é:

$A = picdot r^2 = 8pi$ cm².

b) Usando a nossa primeira imagem, vamos tentar colocar uma esfera que fique possua o centro alinhado com o centro da cuba e que tangencie a parte superior da mesma, conforme é ilustrado abaixo:

Para que isso seja possível, precisamos determinar a distância entre os centros da bola de gude e da nova esfera, caso essa distância seja maior ou igual a soma dos raios das esferas, essa situação é possível.

Traçando uma paralela ao segmento EA passando por C, seja a interseção dessa paralela com o segmento FA o ponto M, conseguimos construir o seguinte triângulo retângulo CMF:

Tal que CM = CF e FM = FA - CE.

Como o raio da cuba é 4 cm, temos que FA = 2 cm. Com isso, fazendo Pitágoras, teremos:

$CM^2 + FM^2 = CF^2$

$8 + 1 = d^2 Leftrightarrow d = 3$

Que é justamente a soma dos raios.

O volume dessa esfera será:

$V = frac{4}{3} cdot pi cdot r^3 = frac{32}{3}pi$