Questão 64720

UERR 2020

Matemática

(UERR - 2020) Sabendo que a aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 6cm e que a área lateral é o sêxtuplo da área da base, assinale a alternativa que representa o volume dessa pirâmide.

$142sqrt{35}cm^2$

$162sqrt{35}cm^3$

$162sqrt{45}cm^3$

$142sqrt{35}cm^3$

$162sqrt{35}cm^2$

Gabarito:

$162sqrt{35}cm^3$

Resolução:

Temos uma pirâmide com a seguinte base:

Temos 6 triângulos equilátemos, portanto podemos calcular a área da base (AB):

$\ AB = 6 frac{l^{2}sqrt{3}}{4} \ \ AB = 6.9sqrt{3} = 54sqrt{3}$

De acordo com o enunciado, temos que a área lateral é o sextuplo da área da Base:

$Al = 6. 54sqrt{3} = 324sqrt{3}$

Sabemos que o Volume da pirâmide é dado por:

$V = frac{1}{3} AB . H$

$V = frac{1}{3} . 54sqrt{3} . H$

Com isso precisamos achar H, como a área lateral é dada por:

$Al = 6. frac{l.h}{2} = 6frac{6.h}{2} = 18h$

$Al = 324sqrt{3}$

$\ 324sqrt{3} = 18h \ \ h = 18sqrt{3}$

Agora podemos achar H (altura da pirâmide):

$\ H^{2} + (3sqrt{3})^{2} = (18sqrt{3})^{2} \ \ H^{2} = 324.3 - 27 = 945 \ \ H = sqrt{945} \ \ H = 3sqrt{105}$

Voltando no Volume, temos:

$\ V = frac{1}{3} . 54sqrt{3} . 3sqrt{105} = 18 .3 sqrt{315} = 54.3sqrt{35} \ \ V = 162sqrt{35}$

Gabarito: B